¡Bienvenidos al blog del ABN! Un año más comenzamos un nuevo curso, llenos de esperanza e ilusión. Será el décimoctavo año de aplicación del método ABN, desde que en el curso 2008-2009 se dieron los primeros pasos en los colegios “Andalucía” y “Carlos III”, de Cádiz. Seguimos adelante. Tenemos a muchos docentes y a muchos niños detrás, que empujan con una fuerza irresistible. Este blog recoge toda la historia del desarrollo del método, desde su primera entrada, allá por Marzo de 2010, hasta hoy. No hemos querido quitar nada. Y aquí seguimos con más de cuatro mil vídeos y pasando con mucho de las cuatro mil entradas, que se dice pronto.
El blog va a seguir siendo fiel a sus principios: mostrar que es posible calcular de otra manera más motivadora, más fácil, más conectada con el pensamiento de los niños, más adaptada a sus futuras necesidades. En definitiva, del modo más eficaz para que los alumnos alcancen competencia matemática.
Animamos a los docentes y a las familias a utilizar el nuevo método. Con él se acaban las tareas repetitivas de cálculo, las dificultades matemáticas sin sentido, el aprendizaje memorístico vacío. Y para convencer al visitante de que es posible nos hemos alejado de los discursos vanos y de la palabrería barata. El material fundamental de este blog es el reflejo de lo que hacen los niños en las clases: vídeos y fotos dan cuenta de ello. Nunca omitimos de qué colegio, de qué maestra o de qué grupo de alumnos se trata. Porque no expresamos fantasías ni delirios, sino resultados concretos.
¡Bienvenidos! Suscríbanse y estén al día de todos los contenidos que incorporamos. Intérnense dentro de las etiquetas y exploren los tópicos por los que tengan más interés, en los cursos de Infantil o Primaria que consideren. Súmense a una corriente que cada día crece más.
No duden en trasladarnos cualquier opinión, crítica, aportación, sugerencia o, simplemente, petición de información. Todo ello será recibido con agrado en:
El primer vídeo se grabó cuando la niña (Alicia, del CEIP "Andalucía" de Cádiz) tenía 8 años y estaba en el primer trimestre de 3º. Se grabó el vídeo con el fin de mostrarlo en la presentación del libro de "Enseñat Matemáticas a alumnos con NEE". La visualización del mismo dejó a los asistentes (alrededor de cien personas) estupefactos. No ya porque las raíces cuadradas sean un contenido inédito en Primaria, sino porque, encima, la resolvía, entendiéndolas, una niña de 8 años.
El segundo vídeo es de Frank, un alumno de 6º del CEIP "Reggio" de Puerto Real. Es un ejemplo de lo que hicimos con niños ya mayores. La técnica es la misma, y la situación o problema que resolvía era la misma que la empleada en 3º.
Nuestro afán de explorar hasta dónde los niños eran capaces de llegar nos llevó hasta plantearnos la resolución de raíces cuadradas de cantidades de tres y cuatro cifras. Antes de incluir los vídeos, es conveniente ver la Presentación en la que explicamos el proceso paso a paso.
Respecto a cómo se hace ahora, hay diferencias radicales. Sin embargo, fue el paso que dimos en este curso (2009-2010) el que más tarde nos permitió llegar al procedimiento actual. Vean la presentación y juzguen.
Lucía García España es maestra en el CEIP "Gallego Burín" de Granada. Gran experta en ABN en los cursos superiores, ha elaborado este vídeo para mostrar cómo se trabaja este contenido. Está muy bien hecho, paso a paso, para que cualquiera pueda seguirlo.
Hablar de resolución de raíces cuadradas en Primaria es casi una
blasfemia didáctica. De hecho, ha desaparecido de la mayor parte de los
currículos oficiales de los países occidentales. En ABN no tenemos esa misma
opinión. Planteamos que tal vez la mala fama que tienen las raíces cuadradas
proviene de su difícil proceso de resolución, y no a algo ínsito a su propia
esencia. En esta eliminación hay algo contradictorio respecto a lo que se
señala en los diferentes contenidos de Primaria. Por un lado, se habla de la
necesidad de establecer conexiones entre las operaciones directas e inversas; por
el otro, se incluye el cálculo de cuadrados como un contenido propio de la
etapa primaria, pero a este contenido no se le puede complementar estableciendo
relación con su inverso. Este se queda cojo. Y, planteamos, ¿no tiene nada que
ver el tratamiento que se dé al trabajo y cálculo de cuadrados con la posibilidad
de abordar, o no, su operación inversa? En el vídeo, Lucía nos demuestra que sí tiene que ver, y mucho.
Una vez que cerré la última entrega del serial "¡Qué horror!" me di cuenta de que había olvidado un contenido odiado y excluido, pero del que abundan alternativas de solución en las redes sociales. Hablo de la raíz cuadrada, Veamos algunos vídeos.
Resolución por el método Montessori.
Plantea un problema: ¿Y cuando el radicando sea 8765?
Aplicar elementos matemáticos en situaciones que promueven
el mejoramiento y transformación del medio natural, social y cultural en el que
se desenvuelve.
Raíz de 208 en algo más de cuatro minutos.
Fácil y bien explicada. Llama la atención la sustracción de 2-1 y el producto de 2x1.
Ayudándose de trucos.
... que no se pueden generalizar.
La clásica, la de toda la vida.
Tres métodos.
El primero es de delirio. Aplíquenlo a 3456. Y
el tercero es de traca.
Resolver una raíz cuadrada en 3’’.
Un poquito más de 3'', ¿no?
Raíz cuadrada con decimales.
Aplicado a 3288 sería muy sencillo. ¿Cuál
sería el cuadrado más cercano? Saber que es el 47 es muy difícil. ¿Y la
decimal? Pues se divide mentalmente 79: 94. ¿Y de 8258? Solo tendría que
dividir 158 entre 180. Y si fuera 8888 tendría que dividir 52 entre 180.
ABN
Raíz cuadrada ligada a la resolución de un problema.
La respuesta, los materiales, los ejemplos, etc., están en el blog abenero de Sandra. Sandra es Sandra Moreno Checa, que es maestra en el CEIP Ecoescuela "García Lorca", de Pulpí (Almería). Su blog es un festín para las docentes abeneras. Esta es otra buena ocasión de disfrutarlo.
Otro gran material para trabajar los cuadrados y las raíces. Nos lo ofrece Sandra Moreno Checa, maestra de la Ecoescuela CEIP "García Lorca"·, de Pulpí (Almería).
SÉPTIMO ARGUMENTO A FAVOR DE LA RESOLUCIÓN DE RAÍCES CUADRADAS EN PRIMARIA.
También son válidas las razones que
se apoyan en la mejor formación intelectual del alumno. Con un procedimiento de
aprendizaje asequible no hay por qué sustraer un conocimiento valioso y que va
a ser difícil que alcance por él mismo y fuera de la escuela. A veces
detrás de ciertos tipos de decisiones hay una actitud hacia el alumno que, a la
larga, le perjudica: ahorrar esfuerzos, hurtarle lo que puede ser complejo. Como he señalado más de una vez, en el aprendizaje de conocimientos valiosos no se ha de optar
por la vía fácil de la eliminación de los mismos, sino por la de hacer
transitable el camino desde la experiencia del niño a la estructura conceptual
del conocimiento.
OCTAVO ARGUMENTO A FAVOR DE LA RESOLUCIÓN DE RAÍCES CUADRADAS EN PRIMARIA.
Sería el argumento de la falta de recursos (y entre ellos la carencia de cálculo mental) por parte de quienes proponen esta anulación. Debe ser que para ellos les parece poco menos que imposible que con los conocimientos que se alcanzan con el cálculo tradicional, y con los modelos concretos con los que se trabajan, no se llega para abordar nociones y conceptos de esta complejidad. Estoy de acuerdo con ellos en eso. Pero, como siempre repito, ¿y si hay procedimientos y recursos para que los niños alcancen el necesario cálculo mental y, además, usan un algoritmo que entienden plenamente?
Pues nosotros ya llevamos años mostrando que es verdad lo que afirmamos y que con nuestro enfoque se alcanza un alto dominio de lo que parece imposible. Ponemos dos ejemplos que ilustran lo que acabo de señalar.
En el primero de ellos, Yoel (alumno de 4º de Primaria del CEIP "Andalucía", de Cádiz) resuelve la raíz cuadrada del número 658.588. Además de ello, halla el resto y averigua lo que habría que añadir a ese resto para que la raíz cuadrada creciera en uno. Y todo ello con solo cálculo mental. Ahora va a hacer 9 años de este vídeo (curso 2011-2012).
En el segundo y tercer vídeos son también alumnos del mismo colegio (aparece Yoel, y también Óscar y Alicia), pero ya están en 6º. Era el curso 2013-2014. Había venido a conocer el ABN un profesor chileno (Luis Millán Valdovinos), y como los alumnos sabían operar con potencias, le propuse a Luis que les explicara cómo trabajar con radicales. No llevó más de media hora. Con alguna imprecisión, los tres niños resuelven satisfactoriamente ejercicios que corresponden a contenidos propios de 3º y 4º de ESO, es decir, tres y cuatro cursos por encima de aquel en el que están.
QUINTO ARGUMENTO A FAVOR DE LA RESOLUCIÓN DE RAÍCES CUADRADAS EN PRIMARIA.
Abandonar la raíz cuadrada es
perder una ocasión de que los alumnos, ante una situación desconocida, busquen
referentes que les permitan controlarla y manejarla, como ya tuvieron que hacer para resolver divisiones con un divisor de dos cifras. Ampliamos de esta manera el sentido de los
cuadrados de los números y de sus características, de las que nos vamos a valer
para encontrar esos referentes.
En este vídeo Alicia y Óscar se meten en el procelosos camino de resolver una raíz cuadrada y extraer decimales. Estaban entonces en 5º de Primaria. El CEIP era el "Andalucía", de Cádiz, y era la maestra Conhac Sánchez.
SEXTO ARGUMENTO A FAVOR DE LA RESOLUCIÓN DE RAÍCES CUADRADAS EN PRIMARIA.
El planteamiento que hacemos sobre
la resolución de las raíces cuadradas está unido a la resolución de un
problema, que le sirve de contexto. La ampliación del campo de resolución de
problemas al que tiene acceso el alumno se convierte en otra razón más para no
renunciar a ella. Habría dos fuentes de problemas. En primer lugar pensamos en
el modelo geométrico, que es el que se usa para hallar el lado de un cuadrado
(y todas las derivaciones y complejidades que se puedan añadir: perímetro de
ese cuadrado, número de árboles que lo pueden bordear, metros y precio de una
valla que lo rodea, etc.), pero también en el aritmético. Resolver una división
en la que divisor y cociente sean la misma cantidad abre también más
perspectivas. Y desde el punto de vista del pensamiento formal permite
comparaciones muy interesantes. Podemos imaginar la comparación entre estos dos
problemas (idénticos en sus cantidades) y las características de su resolución:
GEOMÉTRICA
ARITMÉTICA.
Una superficie cuadrada está
cubierta por 3025 baldosas también cuadradas. ¿Cuántas baldosas hay en cada
lado?
En una fábrica de chuches han
envasado 3025 caramelos en bolsas. Y se ha dado la circunstancia de que han
llenado tantas bolsas como caramelos hay en una bolsa. ¿Cuántas bolsas hay y
cuántos caramelos caben en una bolsa?
Cuando los niños cogen seguridad se atreven con todo. En este vídeo es Guillermo el que resuelve una raíz cúbica. Estaba entonces en el 6º de Primaria del CEIP "Alba de Plata", de Cáceres, y era su maestro Juan Antonio Durán.
Dibujo ilustrativo de María del Carmen Peñalver (CEIP "Cervantes", de Madrid).
TERCER ARGUMENTO A FAVOR DE LA RESOLUCIÓN DE RAÍCES CUADRADAS EN PRIMARIA.
Lo afirmado en el SEGUNDO ARGUMENTO de la entrega anterior puede ser temerario si no se aclara su alcance. No se quiere decir que los alumnos tengan que aprender a resolver (de la misma forma en que tradicionalmente se resuelve una raíz cuadrada) cualquier raíz con cualquier índice. Sí se quiere decir que ese cálculo, sin el uso de procedimientos algebraicos, sí se haga en el caso de la raíz cuadrada. Cuando un alumno de ESO trabaja con radicales, está resolviendo raíces de distintos índices, e incluso raíces de raíces. Y las resuelve fundamentalmente a través de la descomposición factorial de los radicandos. Lo que defendemos aquí es que la raíz cuadrada debe ser el puente que permita pasar al alumno desde el cálculo ordinario que él domina al cálculo algebraico.
El vídeo recoge los primeros pasos en la realización de raíces cuadradas inexactas con números de cuatro cifras. Son alumnos de 4º de Primaria, del CEIP "Lapachar", de Chipiona (Cádiz). El maestro es Juan Manuel Ávila.
CUARTO ARGUMENTO A FAVOR DE LA RESOLUCIÓN DE RAÍCES CUADRADAS EN PRIMARIA.
Las raíces cuadradas se deben aprender a resolver también por un sentido práctico. Tienen un gran protagonismo en la geometría (lados de cuadrados, hipotenusa de un triángulo rectángulo, etc.), en la estadística, en la resolución de ecuaciones de segundo grado, etc. Los dos últimos vídeos de esta entrada ejemplifican la sencillez que los alumnos resuelven raíces cuadradas complejas. ¡Ojo! Son alumnos de 9-10 años.
El niño se llama Antonio. Es de 4º de Primaria del CEIP "Dulce Chacón", de Cáceres. Es el curso 2018-2019 y es su maestra Victoria Muriel.
Por último, Vicente, que es alumno de 4º de Primaria del CEIP "Blasco Ibáñez", de Alzira (Valencia) y que tiene por maestra a Rosa Piera, también en el curso 2018-2019. Halla la raíz cuadrada de 6850.
Desde luego dentro del método ABN. En lo que se refiere al método tradicional, bien pueden suprimirla. El viejo algoritmo se practicaba desligado de las situaciones en que se empleaba. Por eso, eliminarlo no parecía plantear ningún problema. No solamente era una decisión que ahorraba aprendizajes fastidiosos, sino que además era inocua: no pasaba nada, no se interrumpían otros aprendizajes. No es ese el caso de nuestro método, en el que la raíz cuadrada se utiliza en contextos significativos, como una parte importante de una estructura, como una fuente nueva de resolución de problemas.
Voy a realizar diversas entradas para justificar nuestra posición, que vamos a apoyar en vídeos que recogen lo que son capaces de hacer los niños cuando el aprendizaje es significativo y emplean unas desarrolladas herramientas de cálculo. Antes de desgranar los dos primeros argumentos, se incluyen dos vídeos en los que los alumnos resuelven, de forma casi instantánea, raíces cuadradas de números de hasta cuatro cifras. Son alumnos de 5º de Primaria del CEIP "Andalucía", de Cádiz, en el curso 2014-2015.
PRIMER ARGUMENTO A FAVOR DE LA RESOLUCIÓN DE RAÍCES CUADRADAS EN PRIMARIA.
La raíz cuadrada es la operación inversa al cuadrado de un número. Las dos operaciones forman parte de una misma estructura, y eliminar una de las operaciones deja la otra incompleta y fuera de contexto. En un enfoque por estructuras las operaciones son reversibles, y si el alumno aprende a resolver problemas hallando el cuadrado de un número, no termina de saberse por qué, a partir de ese cuadrado no se puede averiguar el número que lo generó. ¿Es mejor que, conociendo lo que mide el lado de un cuadrado, se pueda hallar el área del mismo, y que sin embargo, conociendo el área del mismo no se pueda hallar el lado del cuadrado? No tiene mucho sentido.
SEGUNDO ARGUMENTO A FAVOR DE LA RESOLUCIÓN DE RAÍCES CUADRADAS EN PRIMARIA.
Las potencias (en el caso que nos ocupa, los cuadrados) suponen un nivel superior de abstracción respecto al producto. El producto, a su vez, es un nivel superior de abstracción respecto a la suma. Si el producto resuelve la situación de suma de un mismo sumando que se repite un número determinado de veces, la potenciación resuelve la situación en que un mismo número se multiplica por sí mismo un número determinado de veces. El producto tiene su operación inversa, que es la división. Ambas operaciones están un nivel de abstracción más elevado que el que se tiene en la suma y en la resta. Si el salto siguiente en el producto es la potenciación, ¿por qué no se puede tener ese avance en su operación inversa? Al fin y a la postre, en una división entre cuatro se tiene que buscar un número que sumado consigo mismo cuatro veces sea igual al dividendo; en una raíz cuarta se ha de buscar el número que multiplicado por sí mismo cuatro veces sea igual al radicando.
En el vídeo que adjuntamos, en el marco de los cursos de la UIMP (Univesidad Internacional "Menéndez Pelayo") Se produce esta intervención, que no sé si corresponde a Carmen Tovar o a Isabel Couso, en el que se hace una defensa encendida... del destierro de las raíces cuadradas, no ya de Primaria, sino también de Secundaria.
Esto es algo con lo que, evidentemente, no estamos de acuerdo en ABN. En sucesivos artículos expondremos nuestras razones, y los acompañaremos de lo que hacen los alumnos que sí trabajan con ellas y que, de acuerdo la visión de la misma que se expresa en el vídeo, deberíamos evitar.
Pero no he querido resistir la tentación de mostrar cómo una niña de ocho años (Alicia, del CEIP "Andalucía", de Cádiz, ya en el curso 2010-2011, mostraba que había otras formas de hacerlas. ¡Y eso que era en nuestra prehistoria!
Son alumnas y alumnos de 6º del CEIP "Alba der Plata", de Cáceres. Su profesor es Juna Antonio Durán Siles. Los alumnos han de descomponer números, pero el profesor les da parte de la descomposición hecha, y ellos han de completarla usando solamente las potencias de diez. Lo hacen así de bien, como lo muestran los vídeos.
Me refiero a los niños y niñas de 6º del CEIP "Alba de Plata", de Cáceres, con su profesor al frente, que es Juan Antonio Durán Siles. Les explicó a sus alumnos cómo se resolvían las potencias de exponente negativo de base 10, y les puso una descomposición a ver cómo resultaba. Pues resultó de dejar a los espectadores con la boca abierta. En la foto general se recoge todo el trabajo, y en la más pequeña el detalle de una de las descomposiciones. Para ser de chicos que empezaron ABN en 4º y que están comenzando 6º, la verdad es que no puede estar mejor. ¡Enhorabuena!
He aquí un buen tutorial de Juan Manuel Garrán Barea, Jefe de Estudios del CEIP "Príncipe Felipe", de Chipiona. Está muy bien hecho y les será muy úitl para los docentes del tercer ciclo.
Para la realización de este tipo de extracción de raíces cuadradas recomendamos la lectura del artículo "Pasar del cuadrado de un número a otro superior, o viceversa" y "Cálculo de una raíz cuadrada por exceso y por defecto". El alumnado que ha aprendido con el algoritmo ABN este tipo de cálculo no requiere un esfuerzo significativo, no siendo igual el alumnado que ha realizado su aprendizaje mediante el algoritmos tradicional y además no ha realizado un aprendizaje en cálculo mental que complemente dicho cálculo.
En la siguiente presentación se explica cómo realizar el cálculo de una raíz cuadrada por exceso y por defecto. Al objeto de mejorar su comprensión se representa gráficamente y al final se deduce la fórmula que generaliza y simplifica el proceso. Lo tienes disponible en presentación y en archivo pdf.
El siguiente paso para el dominio del cálculo de cuadrados y raíces es pasar de un cuadrado cualquiera o otro superior. Éste tipo de cálculo requiere tener un buen manejo del cálculo mental, manejo que el alumnado que ha trabajado el algoritmo ABN adquiere de forma natural, por lo que el material que presentamos a continuación no debe presentarles especial dificultad, no pudiendo decir lo mismo del alumnado del algoritmo tradicional, que sí puede presentar serias dificultades, salvo que dispongan igualmente de un buen dominio del cálculo.
En el siguiente material se presenta el procedimiento para calcular el paso de un cuadrado a otro superior o viceversa Al objeto de mejorar su comprensión se representa gráficamente y al final se deduce la fórmula que generaliza y simplifica el proceso. Lo tienes disponible en presentación y en archivo pdf.
Con este artículo completamos el mini apartado dedicado a los "Números Similares" centrándonos en las decenas. Dentro de nuestro estudio de la progresión en el cálculo de cuadrados y números similares, nos detenemos hoy en estos últimos para trabajar el producto de dos bidígitos por aplicación de la propiedad distributiva.
Se trata de casos en los que la cifra de las decenas suman 100 y las unidades coinciden en el mismo número. Ejemplo: 63 x 43. (Fíjate, 40 y 60 son 100).
Repetimos, al igual que en el artículo anterior, que aunque no se trata de cálculo de cuadrados, sí se acercan mucho a ellos, por lo que dedicaremos unas actividades a su estudio y dominio dentro del cálculo mental. Por eso, la primera ficha que presentamos explica el procedimiento, que, como puede ser complicado, volvemos a exponer al final de este texto. Resaltamos que se trata de un cálculo en el cual el alumnado tiene que pensar lo que está haciendo y cuyo ejercicio le reportará más agilidad mental, y no de un truco que se aplica tal cual y no produce reflexión en el alumno.
EJEMPLO: Partimos del ejemplo anterior (63 x 43). Para efectuar el cálculo rápido y abreviado arribamos a la propiedad distributiva en el paso 2. La totalidad del cálculo es como sigue:
1.- Cuadrado del primero o decenas del primer número por las decenas del segundo: 60 x 40 = 2400.
2.- Primero por el segundo y viceversa (segundo por primero): 60 x 3 + 40 x 3, o lo que es lo mismo,
100 x 3 = 300 ( donde el 100 es la suma de las decenas)
3.- Segundo por segundo: 3 x 3 = 9.
4.- Sumamos todos los resultados = 2400 + 300 + 9 = 2709
Publicados los textos correspondientes a Educación Infantil y Primero, Segundo, Tercero y Quinto de Educación Primaria. Pinche en la imagen para más información.
Jaime Martínez Montero ha sido Inspector de Educación desde 1977 hasta Febrero de 2014, en que se ha jubilado. Es maestro y doctor en Filosofía y Ciencias de la Educación. Ha publicado numerosos artículos y libros. Es miembro de la Orden de Alfonso X el Sabio, con la categoría de Encomienda con Placa. Ha sido Profesor Asociado de la Facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad de Cádiz. Ha sido miembro del Comité Científico de la Agencia Andaluza de Evaluación. A lo largo de su carrera ha desempeñado diversos cargos: Inspector-Jefe de Cádiz, Inspector Central del Ministerio de Educación, Director Provincial de los Equipos de Promoción y Orientación Educativa y de Atención Temprana, Agregado de Educación en la Embajada de España en Suiza.
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Bibliografía del Autor relacionada con los algoritmos ABN
Martínez Montero, J., y Sánchez Cortés, C. (2017). Resolución de problemas y cálculo ABN. 2ª edición. Madrid: Wolters Kluwer
Martínez Montero, J. (2011). El método de cálculo abierto basado en números (ABN) como alternativa de futuro respecto a los métodos tradicionales cerrados basados en cifras (CBC). Bordón, 63 (4). Pp. 95-110.
Martínez Montero, J. (2008). Competencias básicas en matemáticas. Una nueva práctica. Madrid: Wolters Kluwer.
Martínez Montero, J. (2001). Los efectos no deseado (y devastadores) de los métodos tradicionales de aprendizaje de la numeración y de los algoritmos de las cuatro operaciones básicas. Epsilon, 49. Pp. 13-26.
Martínez Montero, J. (2000). Una nueva didáctica del cálculo para el siglo XXI. Bilbao: CISS-Praxis.
Martínez Montero, J. (1999). El trabajo didáctico con las situaciones reales de suma y resta. Lo que oculta una cuenta. Tavira, 16. Pp. 58-65.
Martínez Montero, J., y Sánchez Cortés, C. (2019). Enriquecimiento de los aprendizajes matemáticos en Infantil y Primaria con el método ABN. Madrid. Pirámide.
Martínez Montero, J., Sánchez Cortés, C., y de la Rosa Sánchez, J. M. (2020). Enseñar matemáticas con el método ABN en 4º, 5º y 6º y preparación para la ESO. Madrid. Wolters Kluwer.
Martínez Montero, J., y Sánchez Cortés, C. (2021). ¿Por qué los escolares fracasan en Matemáticas? Madrid. Wolters Kluwer.
Martínez Montero, J., y Sánchez Cortés, C. (2023). Desarrollo y mejora de la inteligencia matemática en le Educación Infantil. 3ª edición. Madrid: Wolters Kluwer.
Martínez Montero, J. (2023). Enseñar matemáticas a alumnos con necesidades educativas especiales. 4ª edición. Madrid: Wolters Kluwer.
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