Los problemas de la resolución de problemas. Y (V) Una muy pobre categorización y conexión.

 Este es el cuarto y último gran problema del enfoque actual en la resolución de problemas. La ausencia de categorización entre ellos impide que se puedan conectar entre si, impidiendo así la creación de redes conceptuales que pongan en conexión a unos problemas con otros. Como explicamos en la anterior entrega, la tipificación de los problemas en categorías semánticas (para los de una operación) o en estructuras subyacentes (para los de más de una operación) suponen un primer paso para, a partir de un problema derivar los restantes. Por ejemplo, en el caso de los problemas de una operación:

"Tenía 7 piruletas y me han dado 12. ¿Cuántas piruletas tengo ahora?" Respuesta: 19 piruletas. 

A partir del problema anterior se generan, además del mismo, los dos problemas siguientes: 

"Tenía 7 piruletas y me han dado más. Ahora tengo 19. ¿Cuántas piruletas me han dado?"

"Me han dado 12 piruletas, y con las que ya tenía he reunido 19. ¿Cuántas piruletas tenía?

En el caso de los problemas de dos operaciones, a partir de uno de ellos se pueden generar cuatro distintos. Partamos de la situación planteada y resuelta: 

“Marcos ha puesto 11 € para comprarle un regalo a su madre. Su hermana Irene ha puesto 15. ¿Cuánto dinero les sobra si el regalo ha costado 20€? Les sobran 6 €". 

Los cuatro problemas que surgen de la situación son como siguen: 

1º. Se pregunta por el dinero que sobra: 

“Marcos ha puesto 11 € para comprarle un regalo a su madre. Su hermana Irene ha puesto 15. ¿Cuánto dinero les sobra si el regalo ha costado 20€?” 

11 + 15 = 26; 26 – 20 = x.

2º. Se pregunta por el precio del regalo: 

“Marcos ha puesto 11 € para comprarle un regalo a su madre. Su hermana Irene ha puesto 15. Si les han sobrado 6€, ¿cuánto les ha costado el regalo?" 

11 + 15 = 26; 26 – x = 6 

3º. Se pregunta por el dinero que ha puesto Irene:  

 “Marcos ha puesto 11€ para comprarle un regalo a su madre. Su hermana Irene también ha puesto dinero. Si el regalo ha costado 20€ y les han sobrado 6€, ¿cuánto ha puesto Irene?"

20 + 6 = 26; 26 – 11 = x.

4º. Se pregunta por el dinero que ha puesto Marcos: 

“Marcos ha puesto dinero para comprarle un regalo a su madre. Su hermana Irene ha puesto 15€. Si el regalo ha costado 20€ y les han sobrado 6€, ¿cuánto ha puesto Marcos?" 

20 + 6 = 26; 26 – 15 = x.

 *****

Se trata, por tanto, no sólo de encontrar una solución concreta para una de las posibilidades que se presentan en la situación problemática, sino de saber encontrar todos los problemas que están conectados a aquel que se resuelve. 

En definitiva y como resumen final, habría que procurar: 

 

1. Que no haya separación del aprendizaje numérico (sobre todo, la numeración) respecto a las realidades que representan esos números.
2. Que las características de los algoritmos con los que se resuelven esos problemas no sean "ciegos" y olviden la conexión con las realidades que tratan.
3. Que se tipifiquen los problemas que se han de resolver, de forma tal que se puedan secuenciar y ordenar según su grado de dificultad. 
4. Que una vez resuelto el problema, se establezcan los restantes que se puedan extraer de la situación que ha originado el problema concreto.  

Retales. Ejercicios para el Primer Ciclo.

 Estos "Retales" van a estar constituidos por un conjunto de materiales que se pueden aplicar directamente en el aula. Se ocupan de las cuestiones más básicas del aprendizaje matemático. Les llamamos "Retales" porque son trozos de los Cuadernos de Trabajo que se publicaron en la Editorial "La Calesa", y que ahora compartimos de manera gratuita. 

Para muestra, un botón. Esta primera entrega se dedica a la iniciación de los alumnos en la DECENA. Se puede descargar libremente y seguro que muchos de sus contenidos se pueden integrar en el trabajo ordinario del aula.

La entrega número 2 se dedicará a ejercicios de consolidación en el manejo y uso de las decenas y unidades.  

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Código binario en el Primer Ciclo de Primaria.

Nos manda las fotos Banca Robles, maestra en el CEIP "Tirant lo Blanc", de Albalat dels Tarongers (Valencia). No está nada mal para el Primer Ciclo. En la primera foto nos muestran cómo es el alfabeto en código binario. En la segunda, de forma más directa, la conversión de números en base diez a la base dos. 

En el blog, en la etiqueta "Numeración en cualquier base", contamos con 33 entradas, desde Primero hasta 6º.  

¿Álgebra en el Primer Ciclo de Primaria?

 Pues sí. Nos lo cuenta Benito Macías, del Colegio "Virgen del Rocío" de Huelva:

¡Orgullo y aprendizaje desde edades tempranas!

Hoy queremos compartir un vídeo muy especial protagonizado por tres alumnas de 2º de primaria que demuestran cómo las matemáticas pueden ser divertidas y accesibles desde el inicio de la educación.

En el vídeo, las niñas resuelven tres situaciones con incógnitas, como por ejemplo la ecuación

x + y = 10

. Partiendo del valor conocido de una de las variables y el total, calculan la otra incógnita con gran soltura y comprensión.

Además, de comprender lo que hacen…se facilita el aprendizaje matemático de forma natural y significativa.

Este ejercicio marca el inicio de su acercamiento a las ecuaciones, fomentando el pensamiento lógico y la resolución de problemas desde edades tempranas, lo que sin duda fortalece sus habilidades matemáticas para el futuro.

¡Enhorabuena a nuestras pequeñas matemáticas por su esfuerzo y entusiasmo!

No es nada extraño. Si buscáis en el blog las etiquetas de "Álgebra", veréis que hay más de sesenta entradas, de las cuales nueve de ellas son del Primer Ciclo de Primaria.  

Algo más que una figura geométrica.

 

Las fotos y la narración son de Mari Carmen Peñalver, del CEIP "Cervantes", en Madrid. Nos lo cuenta así, respecto a cómo se aprende:

Matemáticas con corazón

Hoy hemos dado vida a algo más que una figura geométrica. Nuestros alumnos han realizado el desarrollo plano de un cofre, calculando su área y perímetro para convertir un plano 2D en un objeto 3D funcional. ¡La geometría nunca fue tan emocionante!

Pero el verdadero tesoro vino después...

Utilizamos estos cofres personalizados para una dinámica de bienestar y empatía. Cada uno descubrió que dentro guarda algo único y valioso: ¡ellos mismos! Un ejercicio increíble para fomentar la autoestima y el compañerismo.

Aprendizaje significativo: Sumando áreas, multiplicando emociones.

Los problemas de la resolución de problemas. (IV) Una pobre tipología de problemas.

              Normalmente los problemas aritméticos que resuelven los alumnos se han identificado no por su sentido o el tipo de situación que reflejaban, sino por la operación que había que usar para resolverlo. Así, los problemas son de sumar, restar, multiplicar y dividir. Se trata de una clasificación amorfa, que encierra en sí misma tipos de problemas que son muy diferentes. Los problemas en las estructuras aditivas son muy variados, pues pueden ser de añadir, combinar, comparar e igualar. En el caso de las estructuras multiplicativas los problemas pueden ser de iterar, de cantidades intensivas, de comparar, geométricos y de producto cartesiano. En total tenemos 31 problemas de una operación, y si se suman los correspondientes al reparto igualatorio hablamos ya de 39.

Sin tipificación de los problemas en sus correspondientes categorías, no es posible comenzar por lo simple y acabar en lo más complejo, como tampoco es posible secuenciarlos, de manera tal que primero se aborden los más sencillos de las diferentes categorías, luego los de dificultad mediana, etc.

Cada categoría completa de problemas permite que éstos se conecten entre sí, estableciendo la estructura lógica que facilita la comprensión de los mismos y que ayuda a crear redes conceptuales. De este modo, un problema de añadir encierra un problema de sumar y dos de sustraer, y uno de sustraer encierra otro más de sumar y los dos correspondientes de restar. Un ejemplo en los problemas de añadir o cambio:

·         AÑADIR:

o   En un autobús viajan 27 personas. Suben 15 más. ¿Cuántas personas viajan ahora?

o   En un autobús viajan 27 personas. Suben más y ahora hay 42. ¿Cuántas personas han subido?

o   En una parada de autobús suben 15 personas. Ahora hay en el autobús 42 personas. ¿Cuántas personas había cuando el autobús llegó a la parada?

·         SUSTRAER.

o   El material del colegio me ha costado 35€. Pago con un billete de 50€. ¿Cuánto dinero me devuelven?

o   He comprado el material del colegio y lo he pagado con 50€. Me han devuelto 15€. ¿Cuánto me ha costado ese material?

o   El material del colegio me ha costado 35€. He pagado con un billete y me han devuelto 15€. ¿Qué valor tenía el billete con el que he pagado?

La dificultad aumenta cuando se trata de problemas de más de una operación. Pero eso ya otra historia. 

La Oda a la rejilla.

 Mi comentario ha suscitado diversas reacciones, y algunas de ellas realmente ingeniosas. Por ejemplo, la de Sandra Moreno Checa. Hace mi caricatura, incluye una "Oda a la Rejilla", que debe ser la primera que se dedica a tan noble soporte matemático, e incluye un podcast sobre la utilidad de la rejilla, con un diálogo sabroso. 

Es evidente que me voy haciendo mayor, pues no recuerdo nada de ese diálogo...

Muchísimas gracias, Sandra.  

Sobre el número PI.

Nos ofrece el vídeo Mari Carmen Peñalver, del CEIP "Cervantes" de Madrid. Los alumnos son de 6º y vean de qué forma tan inteligente entienden los que es el número PI. Ella misma lo presenta así: 

  Celebramos el Día Mundial de las Matemáticas investigando el número Pi de forma manipulativa… ¡y este año también con robótica!

Con los Tale-Bot, el alumnado ha podido comprobar por sí mismo que el diámetro cabe siempre 3 veces y un “poquito” más en la circunferencia.

Un aprendizaje significativo, sorprendente… ¡y lleno de descubrimientos!

Si tenéis un ratito, os recomiendo verlo hasta el final, porque nos ocurrió algo con los robots que merece especialmente la pena descubrir

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Hoy es domingo. Vamos a elegir un himno.

 ¿Por qué no podemos elegir el himno ABN? No vamos a poder usarlo en público por el pago de los derechos de autor, pero sí nos podemos identificar con él y usarlo en privado. 

Me gustaría que fuera de música alegre, de coro infantil y juvenil, no conocida o poco conocida. 

Propongo estas dos canciones. La primera es una canción tradicional maorí. No solo la cantan muy bien sino que también la acompañan gestualmente. ¡Y muy bien! Se llama TE IWI E.     

La segunda sea tal vez más conocida. Se llama BONSE ABA. Es tradicional de Zambia, y viene a ser un himno de acogida a una Comunidad. 

¿A cuál de ellas elegiríais como el himno ABN?

Una buena explicación sobre una cuestión clave en ABN.

 

Un vídeo muy clarificador, para que se entienda la diferencia entre número y cifra. Está muy bien explicado y ejemplificado. El autor es Benito Macías González, del Colegio "Virgen del Rocío" de Huelva. 

Lo explica así: 

En este vídeo abordamos un aspecto clave en la comprensión del número dentro de la metodología ABN: la diferencia entre la cifra y la cantidad que esta representa según su posición.

A menudo, el alumnado identifica correctamente las cifras de un número, pero presenta dificultades para interpretar su valor posicional, lo que repercute directamente en la comprensión de operaciones y en el desarrollo del sentido numérico.

 ¿Qué analizamos en este vídeo?

Qué entendemos por cifra desde un punto de vista matemático.
Cómo una misma cifra puede representar unidades, decenas o centenas, dependiendo de su posición.
La diferencia entre “ver” un número y comprender su estructura interna.
Estrategias basadas en ABN para favorecer una comprensión profunda mediante descomposición, manipulación y representación.

 Enfoque pedagógico:
Este contenido está planteado desde una perspectiva constructivista, donde el número se concibe como una cantidad que puede descomponerse, transformarse y representarse de múltiples formas. El uso de materiales como palillos o agrupaciones permite visualizar con claridad cuántas unidades, decenas o centenas hay realmente en cada número.

 Ejemplo clave:
En el número 34, la cifra 3 no representa “tres” sin más, sino 3 decenas, es decir, 30 unidades. Comprender esta idea es fundamental para evitar errores frecuentes en cálculo y para avanzar hacia estrategias más eficientes.

 Dirigido a:

Docentes de Educación Primaria interesados en profundizar en la didáctica del número.
Familias que desean comprender mejor cómo aprenden matemáticas sus hijos e hijas y cómo acompañarlos de manera eficaz.

 Reflexión final:
Enseñar números no es enseñar a leer cifras, sino ayudar a construir significados numéricos. La comprensión del valor posicional es uno de los pilares sobre los que se asienta todo el aprendizaje matemático posterior.

Una pizarra digital con poderío.

 

Es la que me envía Mar Quírell, del CEI "El Faro", de Algeciras. Es de sus alumnos de Infantil, y hay que ver todo lo que son capaces de hacerle al número 10. Su contenido responde a la pregunta "¿De cuántas formas diferentes puedo obtener el número 10?" Vayan contando. Son niños de Infantil, sí, pero con un pensamiento algebraico muy desarrollado. 

Se nos había pasado: Otro Colegio con ABN.

 Es el CEIP "Ángela Cuesta" de Marchena (Sevilla). Es el único centro, por lo que sé, de esta ciudad. Tienen un blog en el que se ocupan del ABN y de su introducción en el colegio. 

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Fundación Bankinter.

La Fundación Innovación Bankinter nos incluye en su página. Incorpora información sobre el ABN generada por la IA. Esta bien, salvo que se han comido las rejillas. 

Es interesante su lectura.   

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Una gran alegría. El Colegio "Verdemar" de Santander.

Hacía mucho que no sabía nada del Colegio "Verdemar" de Santander, una magnífica Cooperativa de enseñanza, con un nombre extraído del "Submarino Amarillo", de Los Beatles. Lo visité hace ya años, y allí impartí formación. Fue de los pioneros en Santander, y ahí sigue, con el ABN por encima de todo.  

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Los problemas de la resolución de problemas. (III) Unos algoritmos inadecuados que se convierten en los primeros obstáculos.

 UNOS ALGORITMOS INADECUADOS QUE SE CONVIERTEN EN OBSTÁCULOS INSALVABLES.

Las viejas cuentas con las que se siguen resolviendo los problemas se convierten en lo contrario de la que es su finalidad: un obstáculo. Hasta seis explicaciones justifican lo que se acaba de afirmar.

En primer lugar, el alumno no estudia los números para su mejor comprensión y averiguar lo que va a hacer con ellos. Solo se fija en cómo los coloca para poder operar cifra a cifra.

En segundo lugar, se pierde la trazabilidad, puesto que las cantidades representadas por lo números pierden su identificación y su sentido. Así, se desarrollan orden de magnitud a orden de magnitud, y en todos los casos se trata a estos como si fueran dígitos. De este modo, en la suma de 432 + 174 no se suman cuatro centenas más una centena (o cuatrocientos con un ciento), ni treinta decenas con setenta decenas, sino 4 + 3 y 2 + 4. Es decir, como se suman las unidades. Esta “rotura” es la que hace perder la trazabilidad de las cantidades.  Si el problema trata de averiguar cuántos niños se reúnen procedentes de dos colegios, ¿adónde están los cuatrocientos o los setenta?

            En tercer lugar, los cálculos se efectúan de derecha a izquierda, salvo en la división, que es el orden inverso en el que los procesa el cerebro. La dirección de los cálculos tiene más importancia de lo que parece, porque es antinatural. ¿Alguien que ha de contar una gran cantidad de dinero comienza a hacerlo contando los céntimos o los billetes más grandes?  

            En cuarto lugar, la dirección de los cálculos impide que se aprenda a estimar el resultado. Al ser de derecha a izquierda, cuando se acaba la operación ya está escrito el resultado exacto. No hay nada que estimar. Si se hiciera de izquierda a derecha y se estimara redondeando a las centenas, solo se tendrían que realizar los productos correspondientes a las UU.MM. y las CC.  

            En quinto lugar, cada uno de los algoritmos es único, esquemático, lo que obliga a buscar trucos y atajos que nada tienen que ver con la lógica numérica y que se convierten en serias dificultades de aprendizaje: llevadas, decimales en el divisor, etc. En el caso de las llevadas, los niños se “llevan” (¿cómo lo harán?) hectómetros o kilómetros, o una centena de kilos. En una división con un decimal en el divisor (384 : 2,3), no se divide esa cantidad por ese divisor, sino otra cantidad por otro divisor. No es lo mismo repartir 384 m de tela en trozos de 2 metros y 3 decímetros, que repartir 3840 metros de esa tela en retales de 23 metros.

            En sexto lugar, se tratan como algoritmos aislados, sin conexión con otros, inclusive con el correspondiente a su propia estructura. Así, el algoritmo del producto aparece desconectado del correspondiente a la división, y lo mismo ocurre con la resta respecto a la suma. Para conectarlos con el sentido del problema se recurre a palabras clave: si es de crecer o añadir el problema es de sumar, etc. Este es uno de los mayores errores que se cometen, porque hay problemas que no responden a esa lógica. Cuando el problema es: “Tengo 68€, y tengo 27€ más que tú, ¿cuántos euros tienes tú?” no se pueden sumar las cantidades, sino restar. O, en el problema “¿Cuántas gominolas tenía si me han dado 34, y ahora tengo 57?” Es verdad que te dan, te añaden, pero no es en absoluto un problema de sumar.  

¿Quién es capaz de responder a las preguntas que se le plantean al problema? 

(5º de Primaria. Curso 2018-2019. CEIP "Alba de Plata" de Cáceres).