Los problemas de la resolución de problemas. (IV) Una pobre tipología de problemas.

              Normalmente los problemas aritméticos que resuelven los alumnos se han identificado no por su sentido o el tipo de situación que reflejaban, sino por la operación que había que usar para resolverlo. Así, los problemas son de sumar, restar, multiplicar y dividir. Se trata de una clasificación amorfa, que encierra en sí misma tipos de problemas que son muy diferentes. Los problemas en las estructuras aditivas son muy variados, pues pueden ser de añadir, combinar, comparar e igualar. En el caso de las estructuras multiplicativas los problemas pueden ser de iterar, de cantidades intensivas, de comparar, geométricos y de producto cartesiano. En total tenemos 31 problemas de una operación, y si se suman los correspondientes al reparto igualatorio hablamos ya de 39.

Sin tipificación de los problemas en sus correspondientes categorías, no es posible comenzar por lo simple y acabar en lo más complejo, como tampoco es posible secuenciarlos, de manera tal que primero se aborden los más sencillos de las diferentes categorías, luego los de dificultad mediana, etc.

Cada categoría completa de problemas permite que éstos se conecten entre sí, estableciendo la estructura lógica que facilita la comprensión de los mismos y que ayuda a crear redes conceptuales. De este modo, un problema de añadir encierra un problema de sumar y dos de sustraer, y uno de sustraer encierra otro más de sumar y los dos correspondientes de restar. Un ejemplo en los problemas de añadir o cambio:

·         AÑADIR:

o   En un autobús viajan 27 personas. Suben 15 más. ¿Cuántas personas viajan ahora?

o   En un autobús viajan 27 personas. Suben más y ahora hay 42. ¿Cuántas personas han subido?

o   En una parada de autobús suben 15 personas. Ahora hay en el autobús 42 personas. ¿Cuántas personas había cuando el autobús llegó a la parada?

·         SUSTRAER.

o   El material del colegio me ha costado 35€. Pago con un billete de 50€. ¿Cuánto dinero me devuelven?

o   He comprado el material del colegio y lo he pagado con 50€. Me han devuelto 15€. ¿Cuánto me ha costado ese material?

o   El material del colegio me ha costado 35€. He pagado con un billete y me han devuelto 15€. ¿Qué valor tenía el billete con el que he pagado?

La dificultad aumenta cuando se trata de problemas de más de una operación. Pero eso ya otra historia. 

La Oda a la rejilla.

 Mi comentario ha suscitado diversas reacciones, y algunas de ellas realmente ingeniosas. Por ejemplo, la de Sandra Moreno Checa. Hace mi caricatura, incluye una "Oda a la Rejilla", que debe ser la primera que se dedica a tan noble soporte matemático, e incluye un podcast sobre la utilidad de la rejilla, con un diálogo sabroso. 

Es evidente que me voy haciendo mayor, pues no recuerdo nada de ese diálogo...

Muchísimas gracias, Sandra.  

Sobre el número PI.

Nos ofrece el vídeo Mari Carmen Peñalver, del CEIP "Cervantes" de Madrid. Los alumnos son de 6º y vean de qué forma tan inteligente entienden los que es el número PI. Ella misma lo presenta así: 

  Celebramos el Día Mundial de las Matemáticas investigando el número Pi de forma manipulativa… ¡y este año también con robótica!

Con los Tale-Bot, el alumnado ha podido comprobar por sí mismo que el diámetro cabe siempre 3 veces y un “poquito” más en la circunferencia.

Un aprendizaje significativo, sorprendente… ¡y lleno de descubrimientos!

Si tenéis un ratito, os recomiendo verlo hasta el final, porque nos ocurrió algo con los robots que merece especialmente la pena descubrir

IR AL VÍDEO

Hoy es domingo. Vamos a elegir un himno.

 ¿Por qué no podemos elegir el himno ABN? No vamos a poder usarlo en público por el pago de los derechos de autor, pero sí nos podemos identificar con él y usarlo en privado. 

Me gustaría que fuera de música alegre, de coro infantil y juvenil, no conocida o poco conocida. 

Propongo estas dos canciones. La primera es una canción tradicional maorí. No solo la cantan muy bien sino que también la acompañan gestualmente. ¡Y muy bien! Se llama TE IWI E.     

La segunda sea tal vez más conocida. Se llama BONSE ABA. Es tradicional de Zambia, y viene a ser un himno de acogida a una Comunidad. 

¿A cuál de ellas elegiríais como el himno ABN?

Una buena explicación sobre una cuestión clave en ABN.

 

Un vídeo muy clarificador, para que se entienda la diferencia entre número y cifra. Está muy bien explicado y ejemplificado. El autor es Benito Macías González, del Colegio "Virgen del Rocío" de Huelva. 

Lo explica así: 

En este vídeo abordamos un aspecto clave en la comprensión del número dentro de la metodología ABN: la diferencia entre la cifra y la cantidad que esta representa según su posición.

A menudo, el alumnado identifica correctamente las cifras de un número, pero presenta dificultades para interpretar su valor posicional, lo que repercute directamente en la comprensión de operaciones y en el desarrollo del sentido numérico.

 ¿Qué analizamos en este vídeo?

Qué entendemos por cifra desde un punto de vista matemático.
Cómo una misma cifra puede representar unidades, decenas o centenas, dependiendo de su posición.
La diferencia entre “ver” un número y comprender su estructura interna.
Estrategias basadas en ABN para favorecer una comprensión profunda mediante descomposición, manipulación y representación.

 Enfoque pedagógico:
Este contenido está planteado desde una perspectiva constructivista, donde el número se concibe como una cantidad que puede descomponerse, transformarse y representarse de múltiples formas. El uso de materiales como palillos o agrupaciones permite visualizar con claridad cuántas unidades, decenas o centenas hay realmente en cada número.

 Ejemplo clave:
En el número 34, la cifra 3 no representa “tres” sin más, sino 3 decenas, es decir, 30 unidades. Comprender esta idea es fundamental para evitar errores frecuentes en cálculo y para avanzar hacia estrategias más eficientes.

 Dirigido a:

Docentes de Educación Primaria interesados en profundizar en la didáctica del número.
Familias que desean comprender mejor cómo aprenden matemáticas sus hijos e hijas y cómo acompañarlos de manera eficaz.

 Reflexión final:
Enseñar números no es enseñar a leer cifras, sino ayudar a construir significados numéricos. La comprensión del valor posicional es uno de los pilares sobre los que se asienta todo el aprendizaje matemático posterior.

Una pizarra digital con poderío.

 

Es la que me envía Mar Quírell, del CEI "El Faro", de Algeciras. Es de sus alumnos de Infantil, y hay que ver todo lo que son capaces de hacerle al número 10. Su contenido responde a la pregunta "¿De cuántas formas diferentes puedo obtener el número 10?" Vayan contando. Son niños de Infantil, sí, pero con un pensamiento algebraico muy desarrollado. 

Se nos había pasado: Otro Colegio con ABN.

 Es el CEIP "Ángela Cuesta" de Marchena (Sevilla). Es el único centro, por lo que sé, de esta ciudad. Tienen un blog en el que se ocupan del ABN y de su introducción en el colegio. 

IR AL BLOG.

Fundación Bankinter.

La Fundación Innovación Bankinter nos incluye en su página. Incorpora información sobre el ABN generada por la IA. Esta bien, salvo que se han comido las rejillas. 

Es interesante su lectura.   

IR AL ARTÍCULO.

Una gran alegría. El Colegio "Verdemar" de Santander.

Hacía mucho que no sabía nada del Colegio "Verdemar" de Santander, una magnífica Cooperativa de enseñanza, con un nombre extraído del "Submarino Amarillo", de Los Beatles. Lo visité hace ya años, y allí impartí formación. Fue de los pioneros en Santander, y ahí sigue, con el ABN por encima de todo.  

IR A LA CELEBRACIÓN DE "VERDEMAR"

Los problemas de la resolución de problemas. (III) Unos algoritmos inadecuados que se convierten en los primeros obstáculos.

 UNOS ALGORITMOS INADECUADOS QUE SE CONVIERTEN EN OBSTÁCULOS INSALVABLES.

Las viejas cuentas con las que se siguen resolviendo los problemas se convierten en lo contrario de la que es su finalidad: un obstáculo. Hasta seis explicaciones justifican lo que se acaba de afirmar.

En primer lugar, el alumno no estudia los números para su mejor comprensión y averiguar lo que va a hacer con ellos. Solo se fija en cómo los coloca para poder operar cifra a cifra.

En segundo lugar, se pierde la trazabilidad, puesto que las cantidades representadas por lo números pierden su identificación y su sentido. Así, se desarrollan orden de magnitud a orden de magnitud, y en todos los casos se trata a estos como si fueran dígitos. De este modo, en la suma de 432 + 174 no se suman cuatro centenas más una centena (o cuatrocientos con un ciento), ni treinta decenas con setenta decenas, sino 4 + 3 y 2 + 4. Es decir, como se suman las unidades. Esta “rotura” es la que hace perder la trazabilidad de las cantidades.  Si el problema trata de averiguar cuántos niños se reúnen procedentes de dos colegios, ¿adónde están los cuatrocientos o los setenta?

            En tercer lugar, los cálculos se efectúan de derecha a izquierda, salvo en la división, que es el orden inverso en el que los procesa el cerebro. La dirección de los cálculos tiene más importancia de lo que parece, porque es antinatural. ¿Alguien que ha de contar una gran cantidad de dinero comienza a hacerlo contando los céntimos o los billetes más grandes?  

            En cuarto lugar, la dirección de los cálculos impide que se aprenda a estimar el resultado. Al ser de derecha a izquierda, cuando se acaba la operación ya está escrito el resultado exacto. No hay nada que estimar. Si se hiciera de izquierda a derecha y se estimara redondeando a las centenas, solo se tendrían que realizar los productos correspondientes a las UU.MM. y las CC.  

            En quinto lugar, cada uno de los algoritmos es único, esquemático, lo que obliga a buscar trucos y atajos que nada tienen que ver con la lógica numérica y que se convierten en serias dificultades de aprendizaje: llevadas, decimales en el divisor, etc. En el caso de las llevadas, los niños se “llevan” (¿cómo lo harán?) hectómetros o kilómetros, o una centena de kilos. En una división con un decimal en el divisor (384 : 2,3), no se divide esa cantidad por ese divisor, sino otra cantidad por otro divisor. No es lo mismo repartir 384 m de tela en trozos de 2 metros y 3 decímetros, que repartir 3840 metros de esa tela en retales de 23 metros.

            En sexto lugar, se tratan como algoritmos aislados, sin conexión con otros, inclusive con el correspondiente a su propia estructura. Así, el algoritmo del producto aparece desconectado del correspondiente a la división, y lo mismo ocurre con la resta respecto a la suma. Para conectarlos con el sentido del problema se recurre a palabras clave: si es de crecer o añadir el problema es de sumar, etc. Este es uno de los mayores errores que se cometen, porque hay problemas que no responden a esa lógica. Cuando el problema es: “Tengo 68€, y tengo 27€ más que tú, ¿cuántos euros tienes tú?” no se pueden sumar las cantidades, sino restar. O, en el problema “¿Cuántas gominolas tenía si me han dado 34, y ahora tengo 57?” Es verdad que te dan, te añaden, pero no es en absoluto un problema de sumar.  

¿Quién es capaz de responder a las preguntas que se le plantean al problema? 

(5º de Primaria. Curso 2018-2019. CEIP "Alba de Plata" de Cáceres). 

Los problemas de la resolución de problemas. (II) El escaso conocimiento de los números y del sistema de numeración.

 

Está muy confirmado que las ideas matemáticas de los niños surgen a partir de la  manipulación. Tal vez por eso muchas de las iniciativas puestas en marcha por las Administraciones Educativas para mejorar los rendimientos de los alumnos en Matemáticas ponen el acento en la vertiente manipulativa como aspecto central de todas las cuestiones.

En efecto, el conocimiento de los números y del sistema decimal es muy escaso. Se enseña lo preciso para que los niños puedan leer y escribir los números, y poco más. Una prueba de ello es la forma de contestar de los niños a una pregunta sencilla, como la siguiente: “Un coche realiza un viaje de 301 km. Ha llegado ya al km 199. ¿Cuántos km le faltan por recorrer?” ¿Qué hace el alumno para resolverlo?: Pues plantea una operación de restar, y comienza a hacerlo como le han dicho que lo haga, o sea, de 9 a 11 son 2, y me llevo 1; 9 y 1 son 10, y a 10 son 0 y me llevo 1; 1 y 1 son dos, y hasta 3 me queda 1. Resultado: 102.

 Si conociera bien los números y el sistema de numeración lo habría resuelto en un momento: de 200 a 301 son 101, y con el km que va de 199 a 200 son 102. ¿Por qué no lo hace así? Porque no se le enseña a estudiar los números antes de operar. Cogen los números para emparejarlos, ponerlos uno de bajo de otro, de manera que coincidan los órdenes de magnitud, y a continuación aplican la mecánica que les han transmitido. Es muy difícil resolver un problema si para ello han de emplear un sistema que separa la técnica de solución del significado de los números. Por ello es imprescindible que no vean los números como cifras que hay que emparejar, y luego buscar la operación, sino con sentido en sí mismos. 

El inadecuado e incompleto conocimiento del sistema de numeración es uno de los grandes obstáculos que se presentan en la resolución de problemas. El sistema de numeración, sus periodicidades, su estructura lógica, es adecuada para reflejar todas las soluciones de los problemas y, por si lo anterior fuera poco, es lo que mejor potencia el cálculo mental.

(Colegio "Los Pinos" de Algeciras. 4º de Primaria. Curso 2022-2023). 

Las perplejidades de la REJILLA.

Según me comentan asesores o mentores de uno de los planes de refuerzo y mejora de las matemáticas escolares de una de las Comunidades Autónomas de España, las autoridades han prohibido tanto el uso de la palabra ABN como el de la palabra "REJILLA". Por lo visto, la sola audición de tal palabra provoca incluso erupciones cutáneas. Jamás me podría imaginar que se pudiera llegar a esto. Respecto a la no mención de ABN, más adelante me ocuparé de ello, pues el problema que implica tal prohibición es más grave. Pero lo de la rejilla....

Nunca me hubiera imaginado que una simple cuadrícula poseyera el poder de impedir el aprendizaje de los niños, el de atentar contra los principios sacrosantos de su aprendizaje y el de pervertir el sentido numérico y matemático de los niños. Conviene, pues, aclarar este extremo. Cuando se introduce la rejilla en el método ABN no se perseguía provocar ni unos ni otros de los efectos señalados. Ni siquiera molestar a los o las docentes que no quieren abandonar la docencia centenaria. Entonces, ¿cuál es la razón? 

La rejilla se introduce, llana y humildemente, para poder separar un poco los números y que a los maestros y maestras no les resulte imposible, o muy trabajoso, la corrección de los trabajos con números. O, dicho de otra manera, para que no se acumulen o amontonen las grafías de los números. No hay más: ni efectos maravillosos ni perversos. 

Vean las dos fotografías de abajo y juzguen cómo se corregirían mejor ambas operaciones: ¿con cuadrícula o sin cuadrícula?      

Alumno de 1ºde Primaria del CEIP "San Gregorio de Osset" de Alcalá del Río, en la provincia de Sevilla. Curso 2020-2021. 

Foto de 2º de Primaria del CEIP "Alba de Plata" de Cáceres. Curso 2017-2018.

Otro material de Penyagolosa E-duca.

 A su repertorio de materiales muy buenos (y gratuitos) de Penyagolosa (de Elena Brau Bou), se ha añadido uno interesante, pues se trata de practicar sumas de tres dígitos, empleando gallinas, lombrices y los números hasta el 20.

Visiten el blog, especialmente aquellos que todavía no lo conozcan.

 

IR AL BLOG DE PENYAGOLOSA.

Bianca y su "llavero problemático".

En el blog de Bianca (Ferreira) y sus enanitos, que están en el CPR de Toral de los Vados (León), aparece un nuevo recurso matemático. El llavero problemático contiene llaves, claro, y cada una de ellas lleva registrado uno de los diez problemas de una operación que, normalmente se usan en Infantil. Hay que ir a ver el "Llavero". 

 

IR AL BLOG DE BIANCA.

Abenizando cuentos: Esa es mi flor.

 En el blog de las maestras Lucía (García Martínez) y Maite (Murillo García) se recoge un nuevo cuento abenizado. Las "abenizadoras" lo presentan así:

 Comparto el enlace de las actividades ABN para 3, 4 y 5 años llevadas a cabo el curso pasado con el álbum ilustrado “Esa es mi flor” ya que se aproxima la entrada de la primavera, y por si os sirve de ayuda.

En esta entrada hay una relación detallada de las secuencias de enseñanza y aprendizaje de los tres bloques: conteo, sentido y estructura del número y transformaciones numéricas.

IR AL BLOG