Es una de las fichas con las que nos obsequia en el grupo de Facebook el profesor Luis Millán Valdovinos, desde San Antonio, en Chile. Ya hace doce años que vino a Cádiz a perfeccionar sus conocimientos de ABN, y lo recuerdo con cariño. En todo ese tiempo no nos ha olvidado, ni a nosotros ni al método.
De Tercero de Primaria a Sexto.
El primer vídeo se grabó cuando la niña (Alicia, del CEIP "Andalucía" de Cádiz) tenía 8 años y estaba en el primer trimestre de 3º. Se grabó el vídeo con el fin de mostrarlo en la presentación del libro de "Enseñat Matemáticas a alumnos con NEE". La visualización del mismo dejó a los asistentes (alrededor de cien personas) estupefactos. No ya porque las raíces cuadradas sean un contenido inédito en Primaria, sino porque, encima, la resolvía, entendiéndolas, una niña de 8 años.
Con ellas acabamos el año 2010.
Nuestro afán de explorar hasta dónde los niños eran capaces de llegar nos llevó hasta plantearnos la resolución de raíces cuadradas de cantidades de tres y cuatro cifras. Antes de incluir los vídeos, es conveniente ver la Presentación en la que explicamos el proceso paso a paso.
Respecto a cómo se hace ahora, hay diferencias radicales. Sin embargo, fue el paso que dimos en este curso (2009-2010) el que más tarde nos permitió llegar al procedimiento actual. Vean la presentación y juzguen.
Lucía García España es maestra en el CEIP "Gallego Burín" de Granada. Gran experta en ABN en los cursos superiores, ha elaborado este vídeo para mostrar cómo se trabaja este contenido. Está muy bien hecho, paso a paso, para que cualquiera pueda seguirlo.
Hablar de resolución de raíces cuadradas en Primaria es casi una blasfemia didáctica. De hecho, ha desaparecido de la mayor parte de los currículos oficiales de los países occidentales. En ABN no tenemos esa misma opinión. Planteamos que tal vez la mala fama que tienen las raíces cuadradas proviene de su difícil proceso de resolución, y no a algo ínsito a su propia esencia. En esta eliminación hay algo contradictorio respecto a lo que se señala en los diferentes contenidos de Primaria. Por un lado, se habla de la necesidad de establecer conexiones entre las operaciones directas e inversas; por el otro, se incluye el cálculo de cuadrados como un contenido propio de la etapa primaria, pero a este contenido no se le puede complementar estableciendo relación con su inverso. Este se queda cojo. Y, planteamos, ¿no tiene nada que ver el tratamiento que se dé al trabajo y cálculo de cuadrados con la posibilidad de abordar, o no, su operación inversa? En el vídeo, Lucía nos demuestra que sí tiene que ver, y mucho.
Una vez que cerré la última entrega del serial "¡Qué horror!" me di cuenta de que había olvidado un contenido odiado y excluido, pero del que abundan alternativas de solución en las redes sociales. Hablo de la raíz cuadrada, Veamos algunos vídeos.
Resolución por el método Montessori.
Plantea un problema: ¿Y cuando el radicando sea 8765?
Aplicar elementos matemáticos en situaciones que promueven el mejoramiento y transformación del medio natural, social y cultural en el que se desenvuelve.
Fácil y bien explicada. Llama la atención la sustracción de 2-1 y el producto de 2x1.
... que no se pueden generalizar.
Tres métodos.
El primero es de delirio. Aplíquenlo a 3456. Y el tercero es de traca.
Un poquito más de 3'', ¿no?
Aplicado a 3288 sería muy sencillo. ¿Cuál sería el cuadrado más cercano? Saber que es el 47 es muy difícil. ¿Y la decimal? Pues se divide mentalmente 79: 94. ¿Y de 8258? Solo tendría que dividir 158 entre 180. Y si fuera 8888 tendría que dividir 52 entre 180.
ABN
Raíz cuadrada ligada a la resolución de un problema.
Hablo de Sandra Moreno Checa, del CEIP Ecoescuela "García Lorca", de Pulpí (Murcia)
Saber calcular cuadrados es el primer paso para saber resolver raíces cuadradas.
Hablo de Sandra Moreno Checa, del CEIP Ecoescuela "García Lorca", de Pulpí (Murcia).
En este primero una niña descompone el número 794 000 contando con productos y potencias. Muy bueno.
La respuesta, los materiales, los ejemplos, etc., están en el blog abenero de Sandra. Sandra es Sandra Moreno Checa, que es maestra en el CEIP Ecoescuela "García Lorca", de Pulpí (Almería). Su blog es un festín para las docentes abeneras. Esta es otra buena ocasión de disfrutarlo.
Otro gran material para trabajar los cuadrados y las raíces. Nos lo ofrece Sandra Moreno Checa, maestra de la Ecoescuela CEIP "García Lorca"·, de Pulpí (Almería).
SÉPTIMO ARGUMENTO A FAVOR DE LA RESOLUCIÓN DE RAÍCES CUADRADAS EN PRIMARIA.
También son válidas las razones que se apoyan en la mejor formación intelectual del alumno. Con un procedimiento de aprendizaje asequible no hay por qué sustraer un conocimiento valioso y que va a ser difícil que alcance por él mismo y fuera de la escuela. A veces detrás de ciertos tipos de decisiones hay una actitud hacia el alumno que, a la larga, le perjudica: ahorrar esfuerzos, hurtarle lo que puede ser complejo. Como he señalado más de una vez, en el aprendizaje de conocimientos valiosos no se ha de optar por la vía fácil de la eliminación de los mismos, sino por la de hacer transitable el camino desde la experiencia del niño a la estructura conceptual del conocimiento.
OCTAVO ARGUMENTO A FAVOR DE LA RESOLUCIÓN DE RAÍCES CUADRADAS EN PRIMARIA.
Sería el argumento de la falta de recursos (y entre ellos la carencia de cálculo mental) por parte de quienes proponen esta anulación. Debe ser que para ellos les parece poco menos que imposible que con los conocimientos que se alcanzan con el cálculo tradicional, y con los modelos concretos con los que se trabajan, no se llega para abordar nociones y conceptos de esta complejidad. Estoy de acuerdo con ellos en eso. Pero, como siempre repito, ¿y si hay procedimientos y recursos para que los niños alcancen el necesario cálculo mental y, además, usan un algoritmo que entienden plenamente?
Pues nosotros ya llevamos años mostrando que es verdad lo que afirmamos y que con nuestro enfoque se alcanza un alto dominio de lo que parece imposible. Ponemos dos ejemplos que ilustran lo que acabo de señalar.
En el primero de ellos, Yoel (alumno de 4º de Primaria del CEIP "Andalucía", de Cádiz) resuelve la raíz cuadrada del número 658.588. Además de ello, halla el resto y averigua lo que habría que añadir a ese resto para que la raíz cuadrada creciera en uno. Y todo ello con solo cálculo mental. Ahora va a hacer 9 años de este vídeo (curso 2011-2012).
En el segundo y tercer vídeos son también alumnos del mismo colegio (aparece Yoel, y también Óscar y Alicia), pero ya están en 6º. Era el curso 2013-2014. Había venido a conocer el ABN un profesor chileno (Luis Millán Valdovinos), y como los alumnos sabían operar con potencias, le propuse a Luis que les explicara cómo trabajar con radicales. No llevó más de media hora. Con alguna imprecisión, los tres niños resuelven satisfactoriamente ejercicios que corresponden a contenidos propios de 3º y 4º de ESO, es decir, tres y cuatro cursos por encima de aquel en el que están.
QUINTO ARGUMENTO A FAVOR DE LA RESOLUCIÓN DE RAÍCES CUADRADAS EN PRIMARIA.
Abandonar la raíz cuadrada es perder una ocasión de que los alumnos, ante una situación desconocida, busquen referentes que les permitan controlarla y manejarla, como ya tuvieron que hacer para resolver divisiones con un divisor de dos cifras. Ampliamos de esta manera el sentido de los cuadrados de los números y de sus características, de las que nos vamos a valer para encontrar esos referentes.
SEXTO ARGUMENTO A FAVOR DE LA RESOLUCIÓN DE RAÍCES CUADRADAS EN PRIMARIA.
El planteamiento que hacemos sobre la resolución de las raíces cuadradas está unido a la resolución de un problema, que le sirve de contexto. La ampliación del campo de resolución de problemas al que tiene acceso el alumno se convierte en otra razón más para no renunciar a ella. Habría dos fuentes de problemas. En primer lugar pensamos en el modelo geométrico, que es el que se usa para hallar el lado de un cuadrado (y todas las derivaciones y complejidades que se puedan añadir: perímetro de ese cuadrado, número de árboles que lo pueden bordear, metros y precio de una valla que lo rodea, etc.), pero también en el aritmético. Resolver una división en la que divisor y cociente sean la misma cantidad abre también más perspectivas. Y desde el punto de vista del pensamiento formal permite comparaciones muy interesantes. Podemos imaginar la comparación entre estos dos problemas (idénticos en sus cantidades) y las características de su resolución:
|
GEOMÉTRICA |
ARITMÉTICA. |
|
Una superficie cuadrada está
cubierta por 3025 baldosas también cuadradas. ¿Cuántas baldosas hay en cada
lado? |
En una fábrica de chuches han
envasado 3025 caramelos en bolsas. Y se ha dado la circunstancia de que han
llenado tantas bolsas como caramelos hay en una bolsa. ¿Cuántas bolsas hay y
cuántos caramelos caben en una bolsa? |
Cuando los niños cogen seguridad se atreven con todo. En este vídeo es Guillermo el que resuelve una raíz cúbica. Estaba entonces en el 6º de Primaria del CEIP "Alba de Plata", de Cáceres, y era su maestro Juan Antonio Durán.
Por último, Vicente, que es alumno de 4º de Primaria del CEIP "Blasco Ibáñez", de Alzira (Valencia) y que tiene por maestra a Rosa Piera, también en el curso 2018-2019. Halla la raíz cuadrada de 6850.
Desde luego dentro del método ABN. En lo que se refiere al método tradicional, bien pueden suprimirla. El viejo algoritmo se practicaba desligado de las situaciones en que se empleaba. Por eso, eliminarlo no parecía plantear ningún problema. No solamente era una decisión que ahorraba aprendizajes fastidiosos, sino que además era inocua: no pasaba nada, no se interrumpían otros aprendizajes. No es ese el caso de nuestro método, en el que la raíz cuadrada se utiliza en contextos significativos, como una parte importante de una estructura, como una fuente nueva de resolución de problemas.
Voy a realizar diversas entradas para justificar nuestra posición, que vamos a apoyar en vídeos que recogen lo que son capaces de hacer los niños cuando el aprendizaje es significativo y emplean unas desarrolladas herramientas de cálculo. Antes de desgranar los dos primeros argumentos, se incluyen dos vídeos en los que los alumnos resuelven, de forma casi instantánea, raíces cuadradas de números de hasta cuatro cifras. Son alumnos de 5º de Primaria del CEIP "Andalucía", de Cádiz, en el curso 2014-2015.
SEGUNDO ARGUMENTO A FAVOR DE LA RESOLUCIÓN DE RAÍCES CUADRADAS EN PRIMARIA.
Las potencias (en el caso que nos ocupa, los cuadrados) suponen un nivel superior de abstracción respecto al producto. El producto, a su vez, es un nivel superior de abstracción respecto a la suma. Si el producto resuelve la situación de suma de un mismo sumando que se repite un número determinado de veces, la potenciación resuelve la situación en que un mismo número se multiplica por sí mismo un número determinado de veces. El producto tiene su operación inversa, que es la división. Ambas operaciones están un nivel de abstracción más elevado que el que se tiene en la suma y en la resta. Si el salto siguiente en el producto es la potenciación, ¿por qué no se puede tener ese avance en su operación inversa? Al fin y a la postre, en una división entre cuatro se tiene que buscar un número que sumado consigo mismo cuatro veces sea igual al dividendo; en una raíz cuarta se ha de buscar el número que multiplicado por sí mismo cuatro veces sea igual al radicando.En el vídeo que adjuntamos, en el marco de los cursos de la UIMP (Univesidad Internacional "Menéndez Pelayo") Se produce esta intervención, que no sé si corresponde a Carmen Tovar o a Isabel Couso, en el que se hace una defensa encendida... del destierro de las raíces cuadradas, no ya de Primaria, sino también de Secundaria.
Esto es algo con lo que, evidentemente, no estamos de acuerdo en ABN. En sucesivos artículos expondremos nuestras razones, y los acompañaremos de lo que hacen los alumnos que sí trabajan con ellas y que, de acuerdo la visión de la misma que se expresa en el vídeo, deberíamos evitar.
Pero no he querido resistir la tentación de mostrar cómo una niña de ocho años (Alicia, del CEIP "Andalucía", de Cádiz, ya en el curso 2010-2011, mostraba que había otras formas de hacerlas. ¡Y eso que era en nuestra prehistoria!
Los materiales de este blog están bajo Licencia Creative Commons. Queda totalmente prohibido su uso con fines comerciales, así como el uso no educativo.
