Los problemas de la resolución de problemas. Y (V) Una muy pobre categorización y conexión.

 Este es el cuarto y último gran problema del enfoque actual en la resolución de problemas. La ausencia de categorización entre ellos impide que se puedan conectar entre si, impidiendo así la creación de redes conceptuales que pongan en conexión a unos problemas con otros. Como explicamos en la anterior entrega, la tipificación de los problemas en categorías semánticas (para los de una operación) o en estructuras subyacentes (para los de más de una operación) suponen un primer paso para, a partir de un problema derivar los restantes. Por ejemplo, en el caso de los problemas de una operación:

"Tenía 7 piruletas y me han dado 12. ¿Cuántas piruletas tengo ahora?" Respuesta: 19 piruletas. 

A partir del problema anterior se generan, además del mismo, los dos problemas siguientes: 

"Tenía 7 piruletas y me han dado más. Ahora tengo 19. ¿Cuántas piruletas me han dado?"

"Me han dado 12 piruletas, y con las que ya tenía he reunido 19. ¿Cuántas piruletas tenía?

En el caso de los problemas de dos operaciones, a partir de uno de ellos se pueden generar cuatro distintos. Partamos de la situación planteada y resuelta: 

“Marcos ha puesto 11 € para comprarle un regalo a su madre. Su hermana Irene ha puesto 15. ¿Cuánto dinero les sobra si el regalo ha costado 20€? Les sobran 6 €". 

Los cuatro problemas que surgen de la situación son como siguen: 

1º. Se pregunta por el dinero que sobra: 

“Marcos ha puesto 11 € para comprarle un regalo a su madre. Su hermana Irene ha puesto 15. ¿Cuánto dinero les sobra si el regalo ha costado 20€?” 

11 + 15 = 26; 26 – 20 = x.

2º. Se pregunta por el precio del regalo: 

“Marcos ha puesto 11 € para comprarle un regalo a su madre. Su hermana Irene ha puesto 15. Si les han sobrado 6€, ¿cuánto les ha costado el regalo?" 

11 + 15 = 26; 26 – x = 6 

3º. Se pregunta por el dinero que ha puesto Irene:  

 “Marcos ha puesto 11€ para comprarle un regalo a su madre. Su hermana Irene también ha puesto dinero. Si el regalo ha costado 20€ y les han sobrado 6€, ¿cuánto ha puesto Irene?"

20 + 6 = 26; 26 – 11 = x.

4º. Se pregunta por el dinero que ha puesto Marcos: 

“Marcos ha puesto dinero para comprarle un regalo a su madre. Su hermana Irene ha puesto 15€. Si el regalo ha costado 20€ y les han sobrado 6€, ¿cuánto ha puesto Marcos?" 

20 + 6 = 26; 26 – 15 = x.

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Se trata, por tanto, no sólo de encontrar una solución concreta para una de las posibilidades que se presentan en la situación problemática, sino de saber encontrar todos los problemas que están conectados a aquel que se resuelve. 

En definitiva y como resumen final, habría que procurar: 

 

1. Que no haya separación del aprendizaje numérico (sobre todo, la numeración) respecto a las realidades que representan esos números.
2. Que las características de los algoritmos con los que se resuelven esos problemas no sean "ciegos" y olviden la conexión con las realidades que tratan.
3. Que se tipifiquen los problemas que se han de resolver, de forma tal que se puedan secuenciar y ordenar según su grado de dificultad. 
4. Que una vez resuelto el problema, se establezcan los restantes que se puedan extraer de la situación que ha originado el problema concreto.  

Los problemas de la resolución de problemas. (IV) Una pobre tipología de problemas.

              Normalmente los problemas aritméticos que resuelven los alumnos se han identificado no por su sentido o el tipo de situación que reflejaban, sino por la operación que había que usar para resolverlo. Así, los problemas son de sumar, restar, multiplicar y dividir. Se trata de una clasificación amorfa, que encierra en sí misma tipos de problemas que son muy diferentes. Los problemas en las estructuras aditivas son muy variados, pues pueden ser de añadir, combinar, comparar e igualar. En el caso de las estructuras multiplicativas los problemas pueden ser de iterar, de cantidades intensivas, de comparar, geométricos y de producto cartesiano. En total tenemos 31 problemas de una operación, y si se suman los correspondientes al reparto igualatorio hablamos ya de 39.

Sin tipificación de los problemas en sus correspondientes categorías, no es posible comenzar por lo simple y acabar en lo más complejo, como tampoco es posible secuenciarlos, de manera tal que primero se aborden los más sencillos de las diferentes categorías, luego los de dificultad mediana, etc.

Cada categoría completa de problemas permite que éstos se conecten entre sí, estableciendo la estructura lógica que facilita la comprensión de los mismos y que ayuda a crear redes conceptuales. De este modo, un problema de añadir encierra un problema de sumar y dos de sustraer, y uno de sustraer encierra otro más de sumar y los dos correspondientes de restar. Un ejemplo en los problemas de añadir o cambio:

·         AÑADIR:

o   En un autobús viajan 27 personas. Suben 15 más. ¿Cuántas personas viajan ahora?

o   En un autobús viajan 27 personas. Suben más y ahora hay 42. ¿Cuántas personas han subido?

o   En una parada de autobús suben 15 personas. Ahora hay en el autobús 42 personas. ¿Cuántas personas había cuando el autobús llegó a la parada?

·         SUSTRAER.

o   El material del colegio me ha costado 35€. Pago con un billete de 50€. ¿Cuánto dinero me devuelven?

o   He comprado el material del colegio y lo he pagado con 50€. Me han devuelto 15€. ¿Cuánto me ha costado ese material?

o   El material del colegio me ha costado 35€. He pagado con un billete y me han devuelto 15€. ¿Qué valor tenía el billete con el que he pagado?

La dificultad aumenta cuando se trata de problemas de más de una operación. Pero eso ya otra historia. 

Los problemas de la resolución de problemas. (III) Unos algoritmos inadecuados que se convierten en los primeros obstáculos.

 UNOS ALGORITMOS INADECUADOS QUE SE CONVIERTEN EN OBSTÁCULOS INSALVABLES.

Las viejas cuentas con las que se siguen resolviendo los problemas se convierten en lo contrario de la que es su finalidad: un obstáculo. Hasta seis explicaciones justifican lo que se acaba de afirmar.

En primer lugar, el alumno no estudia los números para su mejor comprensión y averiguar lo que va a hacer con ellos. Solo se fija en cómo los coloca para poder operar cifra a cifra.

En segundo lugar, se pierde la trazabilidad, puesto que las cantidades representadas por lo números pierden su identificación y su sentido. Así, se desarrollan orden de magnitud a orden de magnitud, y en todos los casos se trata a estos como si fueran dígitos. De este modo, en la suma de 432 + 174 no se suman cuatro centenas más una centena (o cuatrocientos con un ciento), ni treinta decenas con setenta decenas, sino 4 + 3 y 2 + 4. Es decir, como se suman las unidades. Esta “rotura” es la que hace perder la trazabilidad de las cantidades.  Si el problema trata de averiguar cuántos niños se reúnen procedentes de dos colegios, ¿adónde están los cuatrocientos o los setenta?

            En tercer lugar, los cálculos se efectúan de derecha a izquierda, salvo en la división, que es el orden inverso en el que los procesa el cerebro. La dirección de los cálculos tiene más importancia de lo que parece, porque es antinatural. ¿Alguien que ha de contar una gran cantidad de dinero comienza a hacerlo contando los céntimos o los billetes más grandes?  

            En cuarto lugar, la dirección de los cálculos impide que se aprenda a estimar el resultado. Al ser de derecha a izquierda, cuando se acaba la operación ya está escrito el resultado exacto. No hay nada que estimar. Si se hiciera de izquierda a derecha y se estimara redondeando a las centenas, solo se tendrían que realizar los productos correspondientes a las UU.MM. y las CC.  

            En quinto lugar, cada uno de los algoritmos es único, esquemático, lo que obliga a buscar trucos y atajos que nada tienen que ver con la lógica numérica y que se convierten en serias dificultades de aprendizaje: llevadas, decimales en el divisor, etc. En el caso de las llevadas, los niños se “llevan” (¿cómo lo harán?) hectómetros o kilómetros, o una centena de kilos. En una división con un decimal en el divisor (384 : 2,3), no se divide esa cantidad por ese divisor, sino otra cantidad por otro divisor. No es lo mismo repartir 384 m de tela en trozos de 2 metros y 3 decímetros, que repartir 3840 metros de esa tela en retales de 23 metros.

            En sexto lugar, se tratan como algoritmos aislados, sin conexión con otros, inclusive con el correspondiente a su propia estructura. Así, el algoritmo del producto aparece desconectado del correspondiente a la división, y lo mismo ocurre con la resta respecto a la suma. Para conectarlos con el sentido del problema se recurre a palabras clave: si es de crecer o añadir el problema es de sumar, etc. Este es uno de los mayores errores que se cometen, porque hay problemas que no responden a esa lógica. Cuando el problema es: “Tengo 68€, y tengo 27€ más que tú, ¿cuántos euros tienes tú?” no se pueden sumar las cantidades, sino restar. O, en el problema “¿Cuántas gominolas tenía si me han dado 34, y ahora tengo 57?” Es verdad que te dan, te añaden, pero no es en absoluto un problema de sumar.  

¿Quién es capaz de responder a las preguntas que se le plantean al problema? 

(5º de Primaria. Curso 2018-2019. CEIP "Alba de Plata" de Cáceres). 

Los problemas de la resolución de problemas. (II) El escaso conocimiento de los números y del sistema de numeración.

 

Está muy confirmado que las ideas matemáticas de los niños surgen a partir de la  manipulación. Tal vez por eso muchas de las iniciativas puestas en marcha por las Administraciones Educativas para mejorar los rendimientos de los alumnos en Matemáticas ponen el acento en la vertiente manipulativa como aspecto central de todas las cuestiones.

En efecto, el conocimiento de los números y del sistema decimal es muy escaso. Se enseña lo preciso para que los niños puedan leer y escribir los números, y poco más. Una prueba de ello es la forma de contestar de los niños a una pregunta sencilla, como la siguiente: “Un coche realiza un viaje de 301 km. Ha llegado ya al km 199. ¿Cuántos km le faltan por recorrer?” ¿Qué hace el alumno para resolverlo?: Pues plantea una operación de restar, y comienza a hacerlo como le han dicho que lo haga, o sea, de 9 a 11 son 2, y me llevo 1; 9 y 1 son 10, y a 10 son 0 y me llevo 1; 1 y 1 son dos, y hasta 3 me queda 1. Resultado: 102.

 Si conociera bien los números y el sistema de numeración lo habría resuelto en un momento: de 200 a 301 son 101, y con el km que va de 199 a 200 son 102. ¿Por qué no lo hace así? Porque no se le enseña a estudiar los números antes de operar. Cogen los números para emparejarlos, ponerlos uno de bajo de otro, de manera que coincidan los órdenes de magnitud, y a continuación aplican la mecánica que les han transmitido. Es muy difícil resolver un problema si para ello han de emplear un sistema que separa la técnica de solución del significado de los números. Por ello es imprescindible que no vean los números como cifras que hay que emparejar, y luego buscar la operación, sino con sentido en sí mismos. 

El inadecuado e incompleto conocimiento del sistema de numeración es uno de los grandes obstáculos que se presentan en la resolución de problemas. El sistema de numeración, sus periodicidades, su estructura lógica, es adecuada para reflejar todas las soluciones de los problemas y, por si lo anterior fuera poco, es lo que mejor potencia el cálculo mental.

(Colegio "Los Pinos" de Algeciras. 4º de Primaria. Curso 2022-2023). 

Los problemas de la resolución de problemas. (I) Planteamiento general.

     Quiero comenzar con esta entrada el abordaje de uno de los grandes obstáculos con los que se encuentra la forma tradicional de abordar la resolución de problemas. Gastar palabras en los malos resultados que se alcanzan, desde que se hacen pruebas externas, es volver a trillar sobre algo muy trillado. Sin embargo, en ABN ocurre lo contrario: hay tanto artículos como tesis doctorales que aportan datos que muestran una diferencia significativa en los rendimientos siempre a favor de los niños y niñas que trabajan nuestro método. Aparte, claro, están las evidencias.

Si tomamos como referencia el método seguido en ABN, nos será más sencillo descubrir las razones de los fallos que se cometen en la metodología habitual con que, muy mayoritariamente, se trabaja en las aulas. Tuve la oportunidad de cerrar el IX Congreso Nacional de ABN con una conferencia que se dedicó precisamente a abordar y explicar el porqué de esta situación. Para esta primera entrada voy a recoger el planteamiento general, y en sucesivas entregas iré desarrollando cada uno de las partes en las que se centran los problemas de la resolución de problemas, valga la redundancia. 

¿Cuáles son, a mi juicio, los problemas de la resolución de problemas. Se pueden señalar las siguientes cuatro causas. 

1ª. El escaso conocimiento que de la numeración y de los números muestran los niños que siguen el aprendizaje matemático de toda la vida.

2ª. Las características de los algoritmos de cálculo que usan los alumnos para resolver esos problemas, que, en lugar de facilitar o ayudar en su resolución, complican muchísimo ese proceso.

3ª. La categorización de los problemas según una clasificación muy simple: problemas de sumar, restar, multiplicar y dividir. Es una clasificación muy burda, que no sirve para reflejar la variedad de tipos de problemas que se dan dentro de los que necesitan, para poder ser resueltos, una de las operaciones citadas. 

4ª. La inexistencia de la exploración que se ha de hacer para que, una vez que se haya resuelto el problema, se pueda conectar el mismo con otros problemas o situaciones. 

Para este primer día, retomo el vídeo que muestra cómo una alumna de 5 años pone los cimientos con los que podrá resolver problemas. Es del CEIP "Gloria Fuertes", pero no he conseguido el municipio al que pertenece. Eso sí, fue en el curso 2019-20120, inmediatamente antes de la pandemia.       

      

Generador de problemas de Cambio. Otro gran trabajo de Penyagolosa.

 Otra aplicación que vendrá bien a muchos compañeros. Solo hay que ir precisando qué tipo de problemas de Cambio se quiere para que, añadiendo alguna especificación más, se generen todos lo necesarios. 

Para todos y libre. 

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Fin del viaje a Egipto.

Todo llega a su fin. Hemos seguido aquí día a día este viaje que, como todo en la vida, se acaba. Recordemos que es un trabajo realizado por Lucía García España, para ayudar a los niños confinados de su colegio (CEIP "Gallego Burín", de Granada). En este último vídeo se llega a abordar el producto y la división.