¡Felices fiestas y buen año con una multiplicación en base 5!

Alicia, de nuestro grupo de investigación del CEIP "Andalucía", de Cádiz, nos felicita las Pascuas mostrándonos cómo se hace una multiplicación en base cinco. 

¿Y por qué le prestamos tanta atención a la numeración en cualquier base? La verdad es que mucha atención no le prestamos. Operar en bases inferiores a diez es algo que enseguida aprendieron los chicos. No necesitaron ver más de un ejemplo. En 1º y en 2º los alumnos emplean la base dos sin equivocarse. En una palabra, que mucho tiempo no se le dedica. Ahora bien, ¿para qué sirve esto de las bases?

            No es la primera vez que me hacen esta pregunta. Así como si todo lo que se tuviera que hacer en esta vida tuviese una utilidad inmediata. Pero es que el trabajo de cálculo con bases de numeración distintas a diez vale para mucho.

            En primer lugar, como ejercicio mental para aumentar la agilidad del cálculo. Cuando el niño convierte un número en base diez a otra base estima, divide y sustrae. Cuando los alumnos hacen las operaciones que ahora hemos visto, trasladan a un ámbito menor y distinto las habilidades y destrezas de la base diez. Y aprenden algo muy importante: el sistema general de cálculo y numeración, del que la base diez es solo una especificación más.

            Las bases de numeración no son más que la forma de numerar las cantidades conforme a la potencia de una base. El número 625₍₁₀ se convierte en 1000₍₅. Pero 625 es igual a 5⁴. La potencia a la que se eleva la base es el orden de magnitud que alcanza el número en base 10 que se transforme. Pasar el número 247₍₁₀ a base 6 es descomponerlo en n6⁴ + n6³ + n6² + n6¹ + n6⁰. Por eso, trabajar las bases de numeración va a ser un buen ejercicio preparatorio para cuando se trate la factorización de los números y todo lo referente a la divisibilidad.

            También es una buena preparación para el álgebra. Un polinomio ordenado en x (x⁴ + 2x³+ 4x² + 3x + 6) no es más que un número escrito en la misma base que valor le demos a x. En el ejemplo, si x es igual a 10, el número es el 12.436. Si le damos el valor de 7, entonces se obtiene el número 3157.  

            Las bases pequeñas son muy útiles para entender los mecanismos profundos del cálculo, y por ello deberían ser obligatorias en la enseñanza tradicional. Las cuentas de toda la vida en base diez manejan números muy altos, por lo que nunca se pueden ejemplificar con objetos reales. Sin embargo, en base 3, una operación de dividir en la que el dividendo tiene unidades cuarto orden se puede realizar con solo 30 o 32 objetos. Con un número limitado de objetos sí se puede realizar la operación a la par con sus símbolos gráficos y a la vez con los objetos. Permiten reducir la complejidad a una escala menor.

            Podríamos seguir, pero no es necesario. La enseñanza de calidad es la que llega a estos detalles. Además, de vez en cuando es bueno sacar a los niños de comer garbanzos todos los días. 

¡HASTA EL AÑO QUE VIENE!

Documentos del CEIP "José Luis Poullet".

Yolanda Selma es maestra del colegio "J. L. Poullet", de El Puerto de Santa María, y quiere compartir los materiales que utilizan en el colegio, por si a alguien más les son de utilidad. Muchas gracias.

Suma en base 7

Oscar es alumno de 5º de Primaria del CEIP "Andalucía" y realiza una suma mediante el algoritmos ABN en base 7. Profesora: Concha Sánchez.

Suma en base 8

Cristian es alumno de 5º de Primaria del CEIP "Andalucía" y realiza una suma mediante el algoritmos ABN en base 8. Profesora: Concha Sánchez.

Sustracción en base 9.

Yoel, con nuevo look, es alumno de 5º de Primaria del CEIP "Andalucía" y realiza una resta mediante el algoritmos ABN en base 9. la profesora es Concha Sánchez.

Producto inverso

Ana es una alumna de  3º de Primaria del CEIP "San Rafael", de Cádiz que realiza una producto inverso  mediante el algoritmo ABN. La tutora es Lola Granados.
En realidad, la alumna resuelve una división. Es un proceso interesante, pero que ha resultado más sencillo de lo que pensábamos.

Se generaliza la división por bidígitos.

Laura es una alumna de  4º de Primaria del CEIP "San Rafael", de Cádiz. Han completado el aprendizaje de la división por dos cifras, y hace una demostración de su dominio. El tutor es Francisco Camero.

División inversa

Jesús es un alumno de  3º de Primaria del CEIP "San Rafael", de Cádiz que realiza una división inversa  mediante el algoritmo ABN. La tutora es Lola Granados.
La resolución de este ejercicio resultó más sencilla de lo que esperábamos. 

División por 11.

Paula, alumna de  3º de Primaria del CEIP "San Rafael", de Cádiz realiza una divisón por 11 mediante el algoritmo ABN. La tutora es Lola Granados.
Lo de 3º de este colegio es de nota. Dominan por completo el producto y la división por una cifra, y con el 11 ya empìezan por dos cifras.

Desde el CEIP "Tetuán", de Linares (Jaén).

Hemso captado desde Youtube estos tres vídeos de demostración y ánimo del método ABN. Corresponden a alumnos de 5º de Primaria. la profesora es Faustina Fernández Martínez.

Adiós a otro de los grupos fundadores del ABN.

Es una mala noticia. De los primeros nueve grupos que comenzaron en el curso 2009-2010, este es el tercero que cae. Quedan seis. Los que vuelven a las viejas cuentas son los chicos y chicas del actual 4º del CEIP "Reggio", de Puerto Real, cuyas docentes, que no han impartido antes ABN,  han decidido el retorno al cálculo tradicional.  

No deja de ser curioso que en los momentos en que se vive una auténtica explosión del método por todos los colegios, cuando de un curso a otro más que se duplican sus practicantes, en alguno de ellos se vuelva atrás, se vaya contra el progreso. Porque esto es lo que se decide: ignorar la psicología del niño y abandonar los conocimientos científicos sobre cómo aprende matemáticas.

No es el único caso y, normalmente, nos lo tomamos como un avatar más de la vida y como una prueba de lo que nos queda por mejorar como sistema. Pero los grupos de niños que comenzaron la aventura son muy especiales. Este, en concreto, alcanzó unos niveles de rendimiento muy elevados. Todo su trabajo está muy documentado, recogido en fotos y en vídeos. La forma en que su maestra del Primer Ciclo (Concha Cantero) ha trabajado las matemáticas ha servido de modelo a muchísimas maestras y ha guiado el aprendizaje de miles de niños. Pues se acaba todo. Vuelta atrás. 

Estamos en época de recortes. No son pequeños los que les van a hacer a estos niños y niñas. Para darse cuenta de su magnitud bastará con fijarse en los vídeos y fotos donde se muestra lo que son capaces de hacer alumnas y alumnos ABN de 4º. En otras profesiones sería impensable que se retrocediera en sus prácticas profesionales para adoptar otra que hubiera demostrado suficientemente sus malos resultados. ¿Se imaginan a los médicos volviendo a los antiguos tratamientos o a los cirujanos recuperando las técnicas obsoletas de hace cien años? Pues esto es lo que ha ocurrido con este grupo, con impunidad. Da igual que se haya demostrado el muy superior nivel de aprendizaje que se consigue con el método que se abandona, o el más elevado grado de motivación, o el mayor nivel competencial que se alcanza, da igual que el método haya sido avalado por personalidades científicas españolas y extranjeras... Da igual todo. Apoyándose en la indefensión de los niños, la ignorancia de los padres y la indiferencia de la Administración, los prejuicios y la comodidad de algunos docentes se imponen sobre los intereses y necesidades de los alumnos, aplicando métodos y procedimientos aun a sabiendas de que se perjudica a los niños. 

Como me comenta un gran colaborador,  "¿Cómo es posible que la Administración no ponga freno a este tipo de desmanes en los que se puede dejar un método que durante varios años ha dado buenos resultados en el grupo sin que los que lo cortan ni siquiera den explicaciones sobre tal decisión, y justifiquen el hecho con razones pedagógicas y no gustos o caprichos personales?" Pues es posible. Así les va. Así nos va.    

  

La tabla de sumar.

LA TABLA DE SUMAR

En el desarrollo del cálculo ABN aprendemos todos los días. Los grandes desarrolladores del sistema son a veces los propios niños y las actividades que las maestras ponen en acción en el aula. Por eso, muchas de las previsiones o diseños que habíamos hecho sobre cómo deberían desenvolverse los procedimientos de cálculo resultan modificados.

Es lo que ha ocurrido con la tabla de sumar, cuyo aprendizaje estaba apoyado en un proceso muy complejo y detallado. La experiencia de su aprendizaje en muchos grupos de 1º de Primaria nos ha enseñado que todo puede ser más sencillo. En concreto, en tres etapas y con dos acciones complementarias se cubre todo el aprendizaje. Lo explicamos a continuación.

PRIMERA ETAPA. COMBINACIONES DE DÍGITOS HASTA CINCO. 

 Las primeras combinaciones las construyen con los dedos. No tienen más que extender en cada mano tantos dedos como indica el correspondiente sumando y contar los dedos extendidos. Normalmente esta fase o etapa los niños la superan enseguida, y las sumas las resuelven por subitización.

SEGUNDA ETAPA. COMBINACIONES DE DÍGITOS MAYORES Y MENORES DE CINCO.

 Se trata de las combinaciones en que un sumando es superior a cinco y el otro es inferior a cinco. La técnica es la siguiente. El alumno o alumna “se pone” en su cabeza el sumando mayor, y extiende tantos dedos como indica el sumando menor. Una vez extendidos los dedos, los cuenta a partir del sumando mayor. Por ejemplo: 9 y 3. Pone en su cabeza el número nueve, y extiende tres dedos. A continuación cuenta los dedos a partir del 9: 10, 11 y 12. Es también muy intuitivo y se domina muy pronto.

TERCERA ETAPA. COMBINACIONES DE DÍGITOS MAYORES DE CINCO.

Por ejemplo, 7 + 8. El niño A escribe el 7 (todos los dedos de una mano y dos dedos extendidos en la otra) y la niña B el otro (todos los dedos de una mano y tres dedos extendidos en la otra). Se les hace notar que los dedos de las dos manos que tienen todos extendidos no hay que contarlos, porque saben que son diez. Ahora, a partir de diez, cuentan todos los dedos extendidos que quedan: 11 y 12 (de una mano) y 13, 14 y 15 de la otra.

 En un primer momento, se necesitan a dos niños. Cada niño escribe un sumando con los dedos y después se cuentan los dedos que hay.

 Una vez que entienden y automatizan el proceso de contar a partir de diez, se prescinde de uno de los niños. Ahora cada sumando se escribe en una mano: el 8 son tres dedos extendidos, el 9 cuatro, etc. 

El alumno cuenta a partir de 10 los dedos extendidos. Por ejemplo, 6 + 9:

1. Escribe los sumandos con los dedos. En una mano extiende 1 dedo (6) y en la otra 4 (el 9).

2. Cuenta a partir de diez los dedos de la primera mano: 11.

3. Cuenta a partir de once los dedos de la segunda mano: 12, 13, 14 y 15. Ese es el resultado.

Es un proceso rápido que el niño entiende sin dificultad y que le permite, sin angustias ni inseguridades, afrontar las sumas y restas.

PRIMERA ACCIÓN COMPLEMENTARIA: LOS DOBLES.

 Simultáneamente a los anteriores procesos se han de trabajar los dobles y, una vez asentados estos, las mitades. No hay peligros. Los niños los aprenden enseguida. Por no sabemos qué extraña razón, las sumas de dos dígitos repetidos las aprenden enseguida y las resuelven con enorme sencillez. Lo mismo ocurre con las mitades, por lo que no se necesitan especiales recomendaciones para su aprendizaje.

SEGUNDA ACCIÓN COMPLEMENTARIA: LOS QUE SUMAN DIEZ.

1. Las sumas de los complementarios a 10.

 Es de tremenda importancia que los niños dominen con singular destreza la suma de los números que da diez como resultado. Es una de las llaves del cálculo mental, y por ello se han de trabajar estas combinaciones específicamente, y alterando el orden de los sumandos (9 + 1 y 1 + 9). Han de tener un dominio completo de estas tres tareas:
1. Conocer a la perfección todos los pares de números cuya suma da diez.

2. Dado un número menor de 10, decir lo que falta para llegar a 10.

3. Dado el número 10, decir qué número queda si se quita uno más pequeño de diez.

Para resolver bien las anteriores cuestiones se tienen los instrumentos más imprescindibles y que mejor aseguran el éxito del aprendizaje: los dedos de las manos. Hemos visto como niños de 3 y 4 años responden a todas las cuestiones cuando tienen que resolverlas usando los dedo

Suma por órdenes de unidades en 3º de Primaria.

Santi, de 3º de Primaria del CEIP "Andalucía", de Cádiz, realiza una suma con las cifras descompuestas en unidades, decenas y centenas. Hasta ahora, y así consta en algún vídeo anterior, los niños convertían los órdenes de unidades en sus correspondientes sumandos, y después efectuaban la suma. Hasta que llego Santi, con sus ocho años, a demostrarnos que es mejor sumar primero los órdenes de unidades y después transformar el resultado en la suma total. La tutora de ese grupo es Concha Sánchez.

El blog de Rosa Piera, desde Alzira (Valencia).

A partir de ahora los docentes que trabajan con el método ABN van a tener una nueva e importante ayuda: la del blog de Rosa Piera, que tiene la generosidad de compartir su trabajo con todos, en la línea de colaboración y ayuda que caracteriza a maestros y maestras ABN. Habíamos sacado vídeos del blog, y se nos había traspapelado la incorporación del mismo blog. Ya está arreglado. Gracias, Rosa.

Más vídeos desde Alzira.

Desde Alzira (Valencia), del taller de trabajo del CEIP "Vicente Blasco Ibáñez" que tan bien desarrolla Rosa  Piera, y extraídos del blog "tallerblasco.blogspot.com/es", adjuntamos los vídeos que hasta ahora han publicado. Buen trabajo y muchas gracias.

Primer vídeo desde Alzira (Valencia)

Extraído del blog de Rosa Piera, del CEIP "Vicente Blasco Ibáñez", de Alzira, en la provincia de Valencia (http://tallerblasco.blogspot.com.es/), el vídeo muestra de manera muy didáctica cómo se efectúa la suma ABN. Esperemos poder incorporar más vídeos, que están realizados con mucha calidad y con un enfoque muy didáctico.

División por dos cifras. La forma de resolverlas de Isaiah

Isaiah se ha revelado, desde que lo conocimos en 2º, como un chico que no se conforma con el camino más fácil. A la hora de comenzar a dividir por dos cifras, esa característica la ha puesto de manifiesto. Ya hemos dado noticia de ello, pero ahora queremos detenernos un poco más. En la primera foto, y con el fin de simplificar al máximo la operación, reparte una gran cantidad en el primer paso. Utiliza la escala, que escribe muy tenuamente, para, componiendo sus elementos, obtener un cociente parcial elevado. Así ocurre en el caso de 62.602 : 24. La escala le dice que si reparte mil "gasta" 24.000. Él calcula que con 62.000 tiene para dos veces mil y, además, quinientos, pues esta última cantidad reparte 12.000. Como tiene un gran cálculo mental, sabe que 24.000 + 24.000 + 12.000 = 60.000. En una palabra, que no es que obtenga 2.500 como consecuencia de la división de 60.000 entre 24, sino como el resultado de sumar un número conocido una serie de veces.

En la división de la derecha (75.223 : 32) utiliza la misma técnica. Dobla mil en el cociente, con lo que reparte o gasta 64.000, y luego añade la décima parte de dos mil, que son doscientos. Ya tiene el primer cociente parcial: 1000 + 1000 + 200, que son 32.000 + 32.000 + 6.400.
El segundo cociente parcial emplea la técnica de multiplicar por cien y luego hallar la mitad. Así compone el segundo cociente parcial. Aunque no sea del caso, nótese también la seguridad con la que realiza el producto con decimales en el multiplicando.  

Estas dos operaciones las ha hecho estando yo delante, y contándome cómo obtenía los cocientes. En el primer caso, solo se sale de lo habitual en el segundo cociente parcial (en el que se equivoca, error que a mí también se me pasa por alto). Luego se centra en extraer decimales.

La segunda nos expresa su técnica llevándola hasta las decenas. Comienza a aproximarse al dividendo (95.975) repartiendo primero mil (gasta 62.000), luego quinientos (31.000, y van 93.000) y, finalmente, añade diez (620, que hacen un total de 93.620). Ese es el cociente que pone. Podría haber seguido doblando el diez, pues tenía margen, pero no se mete en más vericuetos. Finalmente, halla los restantes cocientes de la manera habitual, por órdenes de unidades.

¿Mi conclusión? Es una buena manera de abreviar las divisiones, por un lado, y de utilizar en esta resolución todos los recursos de cálculo que sabe emplear. Estamos muy lejos de buscar "el número que multiplicado por tal dé lo más cerca de tal". Estamos ante un nuevo modo de resolver los cocientes: por composición. Exploraremos esta nueva vía que nos ha abierto un niño de nueve años, alumno de 4º del CEIP "San Rafael", de Cádiz, que se llama Isaiah.

División sintética.

O, mejor, división mental. Los alumnos son  Josechu y Juan Marcos de 4º Curso del CEIP "Andalucía". La tutora es Charo Ruiz.
En la pizarra no escriben más que el resultado.

Producto sintético.

Sintético a más no poder. Los alumnos son Juan Marcos y Josechu. Son de 4º, del CEIp "Andalucía", de Cádiz, y su maestra es Charo Ruiz. La capacidad de cálculo es asombrosa.
Me advierten de que solo salen los niños y no sale lo que escriben en la pizarra. ¡Es que en la pizarra no escriben nada! Tan solo el resultado y de una vez, cuando lo tienen completo. 

Resolución de una raíz cuadrada por un novato en ABN

Así es. Alejandro ha llegado este curso al colegio. Es decir, que se ha incorporado a la nueva metodología después de cuatro años con la antigua. La forma de resolver la operación y los cálculos que hace demuestran su plena integración y la perfecta asimilación del nuevo método. Estamos en 5º Curso de Primaria del CEIP "Andalucía", de Cádiz. La maestra es Concha Sánchez. 

Resolución de raíces cuadradas.

Así la explica Elena, de 5º Curso de Primaria. La maestra es Concha Sánchez.

ABN en el blog "Dulces estrellitas". Desde Vilches (Jaén).

En el blog "Dulces estrellitas" nos hemos encontrado con un artículo sobre el algoritmo ABN con el título "Nueva forma de aprender las MATEMÁTICAS. Algoritmos ABN". Es del CEIP "Virgen del Castillo", de Vilches (Jaén).

Las primeras fotografías que nos envían desde Cartagena

He recibido un correo de Flori Vázquez, del CEIP "San Cristóbal", de Cartagena, que es la primera impulsora del método ABN en aquellas tierras, de los que levantan el ánimo. Me ha autorizado, a petición mía, a reproducir algunos párrafos, lo que hago con mucho gusto.

"Hola Jaime,hoy me he decidido a llevarme la cámara y hacer fotos de lo que estaba haciendo con mis alumnos. Así puedes tener constancia gráfica de los avances de los alumnos de 3º del CEIP San Cristobal de Cartagena, que van a tener el privilegio de ser los primeros alumnos ABN en esta zona. Este curso está teniendo mucha suerte pues también son el primer grupo bilingüe del colegio.

Aquí ya ha llegado el "virus" y se extiende como una epidemia. Las maestras de 1º ciclo ya ha empezado con los palillos y palitos de polo a hacer decenas, las de Infantil ya tienen sus rectas pegadas en las mesas y me consta que las de 3º ciclo están trabajando las descomposiciones y los problemas de otra manera. Como ves hay contagio.

(...)

Espero que te alegres pues lo que has sembrado  en Cartagena está empezando a  dar frutos.

Cuando tenga más soltura intentaré hacer un video. De momento me conformaré con hacer fotos y para la próxima sin poner el dedo, como me ha ocurrido en alguna.

Bueno ,hasta la próxima. Un abrazo 

Flori"

Muchas gracias, Flori, por todo lo que haces. Y, como ya he escrito en una entrada anterior, por mandarme los primeros brotes verdes de tu colegio.

Haz clic sobre la imagen para poder ver todas las primeras fotos enviadas desde Cartagena.

Las primeras divisiones con decimales.

Eva Trujillo, tutora de 3º de un grupo del CEIP "Carlos III" de Cádiz, nos manda las primeras fotos de las primeras divisiones con decimales de sus alumnos. Cada vez son los alumnos más precoces. Esta primera foto es de Noelia. Para entender cómo ha hecho la operación hay que tener ciertas referencias. Primero reparte todos los euros posibles (72), y después, en cinco pasos, se ocupa de los céntimos. Convierte los tres euros en 300 céntimos, y va repartiendo cada vez 90 céntimos, hasta que llega a 30, que reparte 27. El resultado y el resto lo escribe correctamente (son datos de comunicación), mientras que los datos de operación los escribe sin restricciones. No lo hace igual en los cocientes parciales, seguramente para no confundirse a la hora de hallar el cociente global o total. Sinceramente, es asombrosa la variedad de enfoques y estrategias que utilizan niños tan pequeños. Llevo pegado al ABN desde el primer momento y me sigo sorprendiendo casi cada día. Entiendo por qué se hace tan adictivo para las maestras.
                                                                                                                                                                   
La segunda foto es de la operación realizada por Carlos. Realiza la cuenta en un paso menos que Noelia, y muestra una técnica más efectiva. En el paso primero, rebasa los referentes, esto es los productos de la tabla del seis que se acercan al dividendo (podría haber cogido 120 -que es 2 decenas o 20 por 6-), y sin embargo encuentra un número que no se desprende directamente de la tabla. Es decir, que lo crea él por propia deducción y experiencia. En el segundo paso nos deja sorprendidos, porque si en el primero hace un cálculo arriesgado y difícil, en el segundo, mucho más fácil, no ve el 18, sino el 12. En el tercer paso traslada directamente los 9 euros a 900 céntimos, y de una forma muy efectiva los reparte. Se ha de notar también la simbolización oscilante, como en el caso de Noelia. El primer cociente parcial lo escribe como si fuera un número entero, y le añade la "c" para diferenciarlo. Sin embargo, el segundo producto parcial lo escribe como mandan los cánones. La transparencia del algoritmo nos permite comprobar las fases de progresión por las que van pasando los alumnos.
Eva Trujillo, que es de la primera oleada ABN, demuestra tener un gran sentido de los aspectos técnicos del cálculo, como lo muestra el que nos haya enviado estas dos fotos. Gracias. Seguiremos documentando tus avances. Estas fotos que nos has enviado sí que son "brotes verdes".