¡BIENVENIDOS!

¡Bienvenidos al blog del ABN! Un año más comenzamos un nuevo curso, llenos de esperanza e ilusión. Será el décimotercer año de método ABN, desde que en el curso 2008-2009 se dieron los primeros pasos en los colegios “Andalucía” y “Carlos III”, de Cádiz. Seguimos adelante. Tenemos a muchos docentes y a muchos niños detrás, que empujan con una fuerza irresistible. Este blog recoge toda la historia del desarrollo del método, desde su primera entrada, allá por Marzo de 2010, hasta hoy. No hemos querido quitar nada. Y aquí seguimos con más de dos mil vídeos y cerca de las tres mil entradas, que se dice pronto.

El blog va a seguir siendo fiel a sus principios: mostrar que es posible calcular de otra manera más motivadora, más fácil, más conectada con el pensamiento de los niños, más adaptada a sus futuras necesidades. En definitiva, del modo más eficaz para que los alumnos alcancen competencia matemática.

Animamos a los docentes y a las familias a utilizar el nuevo método. Con él se acaban las tareas repetitivas de cálculo, las dificultades matemáticas sin sentido, el aprendizaje memorístico vacío. Y para convencer al visitante de que es posible nos hemos alejado de los discursos vanos y de la palabrería barata. El material fundamental de este blog es el reflejo de lo que hacen los niños en las clases: vídeos y fotos dan cuenta de ello. Nunca omitimos de qué colegio, de qué maestra o de qué grupo de alumnos se trata. Porque no expresamos fantasías ni delirios, sino resultados concretos.

¡Bienvenidos! Suscríbanse y estén al día de todos los contenidos que incorporamos. Intérnense dentro de las etiquetas y exploren los tópicos por los que tengan más interés, en los cursos de Infantil o Primaria que consideren. Súmense a una corriente que cada día crece más.

No duden en trasladarnos cualquier opinión, crítica, aportación, sugerencia o, simplemente, petición de información. Todo ello será recibido con agrado en:

Jmartínez1949@gmail.com

MÉTODO ABN


¡PUBLICADOS LOS PRIMEROS LIBROS DE TEXTO ABN!

LA EDITORIAL ANAYA HA PUBLICADO LOS LIBROS DE TEXTO CORRESPONDIENTES A LOS SEIS CURSOS DE PRIMARIA. HAZ CLIC EN LA IMAGEN PARA INFORMARTE


TAMBIÉN ESTÁN DISPONIBLES LOS DIEZ CUADERNOS, CORRESPONDIENTES AL PRIMER, SEGUNDO Y TERCER CICLO DE EDUCACIÓN PRIMARIA DE LA EDITORIAL "LA CALESA".

sábado, 24 de octubre de 2020

Cumpleaños feliz.

Y así se lo desean los alumnos de Gracia María Fernández Rivera, que son de 1º de Primaria del CEIP "La Paz", de San José de la Rinconada (Sevilla), con un magnífico sol y una caja de galletas. 

Gracia María nos lo cuenta en el grupo de Facebook con un texto que le agradezco profundamente. Dice así: 

"¡Hoy es mi cumpleaños! Regalo de mi alumno Aitor (yo también les he hecho un regalito)y del resto del alumnado. Este híbrido entre tarta y sol de descomposición. ¡43 añazos! ¡Cuántos años perdí en la escuela sin conocer ni aplicar este método! Gracias a su creador, D. Jaime Martínez Montero.

23 de octubre de 2020. 1°A "LOS TIGRES".
PD: Estábamos disfrazados de profesiones importantes durante el confinamiento, para nuestro calendario escolar. Nuestro homenaje era para los docente y el alumnado (disfrazados de "empollones")."

¡Buena suerte a "Los Tigres"! Nos van a dar muchas alegrías. 


 



División por dos cifras.

 Además de mostrar otro posible uso para el tablero del pupitre, Mamen Prieto (CEIP "San Gregorio de Osset", de Alcalá del Río, en Sevilla) nos enseña el progreso de sus alumnos en la división por dos cifras. Cada foto va acompañada de su problema. Están empezando, por lo que algunos necesitan algo más de ayudas que otros, que parecen expertos. Teniendo en cuenta que el curso pasado los niños tuvieron el tercer trimestre un poco trastornado, y lo temprano que estamos aún de curso, van los chicos muy adelantados. 

Un gran trabajo. 










jueves, 22 de octubre de 2020

Una carta que se agradece.

Me la envía, a través del GRUPOCALCULOABN de Facebook, Virginia Merlo, que es maestra argentina y que ha puesto allí en marcha la nueva metodología. 

Este es su texto:

"Hola Jaime. Vivo en Argentina, bien al sur de mi país. Hace creo que 2 años que los sigo y si yo hubiese aprendido con este método no me hubiese frustrado ni pensado que yo no servía para eso 

☺. Soy docente, llevo 22 años enseñando y es algo que me apasiona por todos lados y me hace feliz😄
Me encanta el método y creo en él, veo en la práctica los buenos resultados y como realmente los niños comprenden los números,comprenden lo que hacen y saben el por que y el para que de su uso, no es nada mecánico y me asombra como desde sala de 3 años aprenden jugando y haciendo, viviendo los números. Amo como enseñan a pensar los problemas, muchas veces veo como ni los docentes sabemos enseñarles a pensarlos, pareciera como si las situaciones problemáticas estuviesen separadas de las de la vida cotidiana. La verdad quise comprar los libros y hacer los cursos, pero tristemente la situación del país y los costos son altísimos para nosotros.
Si me preguntan un sueño...ir a España para aprender el método, y vivenciar lo que cada día ven istedes dentro del aula, y luego traerlo a mi país para hacerlo conocido para que todos los niños/as amen las mates, como dicen ustedes. Quizás algun día pueda cumplir este sueño, por ahora me conformo siguiendolos por las redes y aprendiendo de todo lo que comparten tan generosamente. Gracias 
Jaime Martínez Montero
 por todos estos aportes, por esta otra mirada y porque estoy convencida de que no hay una sola forma de enseñar y de aprender.

miércoles, 21 de octubre de 2020

Los primeros pasos en 6º. ¿Hasta dónde llegarán?

 Me manda las fotos Victoria Muriel, tutora de un grupo de supervivientes del método ABN en su colegio, el CEIP "Dulce Chacón" de Cáceres. Podemos ver que estos niños siguen "apuntando maneras" que ya exhibían en los cursos anteriores. 

La primera foto es de Iker. Es un compendio de todo lo que se puede hacer con el número 50 050: factoriales, exponentes, raíces, operaciones combinadas... Aparece hasta una raíz cúbica. 


Recordamos a Iker en 4º de Primaria:


Esta foto recoge descomposiciones de Jorge. Ahí es nada. Dominio de la notación científica, raíz cuadrada de cuatrocientos millones...


Recordamos a Jorge en 4º de Primaria. Ya prometía. Traigo un vídeo para ver cómo, ya en este curso, resolvía una raíz cuadrada exacta, con su problema y todo.  




Descomposiciones colectivas. 



Descomposiciones y valor de un polinomio en el que la indeterminada tiene valor 10 (vamos, que pasa a ser determinada). Es una técnica de iniciación, en la que nos valemos del conocimiento que ya tienen los alumnos de la numeración. 



Repasando la división por una cifra.

Mamen Prieto es la profesora de 4º de Primaria del CEIP "San Gregorio de Osset", de Alcalá del Río (Sevilla). Estaba repasando con sus alumnos de 4º la división por una cifra, como paso previo a iniciar el aprendizaje de la división por dos cifras, cuando la afirmación de una docente señalando que para hacer una simple división los del método ABN necesitan un rollo de papel higiénico, dado lo largo que es el proceso, le hizo reaccionar y desmontar esa temeraria (y falsa) afirmación con solo unas fotos del trabajo de sus alumnos esa misma mañana. 

Me hago eco de las mismas. Ahí las tienen, bien resueltas, con su problema, y algunas de ellas implicando cálculos de bastante dificultad. 

Con el fin de que no se nos pase por alto la diversidad que manifiestan los alumnos en la misma realización de la operación, sin contar los diferentes enunciados, resalto sus características una a una: 

FOTO 1. La hace en cuatro pasos. La mayor parte de las UU las reparte al mismo tiempo que las UUMM. Las que le quedan lo hace con las DD.  



FOTO 2. En tres pasos. Pero ¡qué tres pasos! En un primer paso divide a la vez todas las UUMM, DD y UU. En un segundo paso las CC. Y finalmente, un resto de UU y las dd.
 


FOTO 3. La hace en dos pasos. Para qué entretenerse más. En el primero despacha las UUMM y las CC; en el segundo lo que queda. 



FOTO 4. Tres pasos. Pero comienza por UU y DD, sigue con UUMM y CC, y termina con las dd.



FOTO 5. Cuatro pasos. Primero las UUMM, luego las CC y DD a la vrez, las UU y finalmente las dd.



FOTO 6. Si estuviéramos hablando de arte, la forma de resolver esta operación se encuadraría dentro del Barroco. Lo hace en tres pasos, pero de gran complejidad. En primer lugar divide las UUMM y parte de las CC; tras ello reparte las CC restantes, las DD restantes, parte de las UU y extrae algunas dd (eso en el mismo paso, repito); por último, remata la obra de arte con lo que le queda de las UU y de las dd. 


Puro ABN, Mamen. Felicita a tus alumnos. ¡Qué no harán cuando trabajen con divisiones por dos cifras! 

Más aportaciones del C.C. "Los Pinos".

 Afortunadamente para nosotros, el C.C. "Los Pinos", de Algeciras (que es de los más antiguos en aplicar el método ABN y que así lo predica en una placa a la entrada del colegio) está muy activo y publica vídeos con los trabajos de sus alumnos. 

Estos son de los comienzo de 1º de Primaria, en los que se muestra el uso de la recta numérica como apoyo visual para así trabajar la suma. Muy didáctico. 

Trabajando la tabla de sumar. 



También sirve para encontrar el sumando que le falta a una suma ya resuelta. Es la base de los problemas de Cambio 5. 



martes, 20 de octubre de 2020

Secuencia completa de los problemas de restar.

Una amable seguidora del blog me ha advertido del error que contenía el primer problema, catalogado como de restar y que era, en realidad y de forma clamorosa, de sumar. 

Corregido este fallo, por el que pido disculpas, se vuelve a ofrecer la secuencia completa de los problemas de restar, con el fin de ampliar el repertorio de problemas que tengan que inventar los alumnos para contextualizar las operaciones. 

Descarga del Documento 




lunes, 19 de octubre de 2020

Equivalencias entre unidades de medida.

 No había reparado en el vídeo que publicó a punto de empezar la pandemia Carlos García Raboso. Es tremendamente interesante y, sobre todo, de una sencillez aplastante a la hora de explicar algo que de otro modo puede ser complejo. 

Se trata de un modelo formal muy potente, pues no solo es de aplicación al resto de las magnitudes lineales, sino que es el que está a la base de las equivalencias entre los órdenes de magnitud, que son (las equivalencias) las que explican el número de decimales que tiene un producto cuando los factores también tienen decimales. 

Un gran trabajo, Don Carlos. 



martes, 13 de octubre de 2020

Secuencia completa de los problemas de sumar.

 Suele ser frecuente que cuando los niños y niñas que trabajan ABN realizan sumas comiencen proponiendo un problema. El análisis de los tipos de problemas que proponen los niños nos da como resultado que suelen emplear mayoritariamente los problemas de Cambio 1 y de Combinación 1, olvidando o no recurriendo a los otros cinco tipos. 

Con el fin de facilitar a los docentes el repertorio completo de los problemas de sumar se publica el presente documento. En él se enuncian los siete tipos distintos y se explican las diferencias en dificultad que guardan unos respecto a otros. Con ello se persigue aumentar la variedad de problemas que se proponen y enriquecer el modelo formal de la suma. 

En sucesivas publicaciones aparecerán los problemas correspondientes a la resta, el producto y la división.     

Descarga del Documento




Sobre los libros de texto. Un resumen y una opinión.

Se adjunta un documento. que se puede leer en línea y se puede bajar, en el que expreso mi opinión y hago un repaso a los comentarios que surgieron tras mi publicación en el GRUPOCALCULOABN de facebook de un párrafo del libro que aparece en la foto y que hacía referencia al uso de los libros de texto. 

 Obtener aquí el documento.



Primer vídeo de Conchi Bonilla.

Comienza la serie. Conchi (CEIP "Sagrado Corazón", de Getafe) estrena promoción y dos decvenas largas de niños de tres años van a tener la suerte de "caer" en sus manos. 

En este primer vídeo nos muestra sus primeras herramientas y cómo se deben desplegar.


  

viernes, 9 de octubre de 2020

Lectura para el fin de semana.

  En la Revista "Investigación en Educación Matemática" ha aparecido el siguiente artículo, del que recomiendo su lectura. 

Descargar aquí




martes, 6 de octubre de 2020

Los primeros vídeos del curso.

Lo publican en nuestro grupo de Facebook  el CC "Los Pinos", de Algeciras. ya tenemos otra vez alegría y sabiduría. 

2º de Primaria. Los alumnos realizan tres sumas, y cada uno con su propio procedimiento. 


3º de Primaria. Aplicación de los redondeos. 









lunes, 5 de octubre de 2020

VI CONGRESO NACIONAL ABN. CONFERENCIA FINAL.

 Con mucho gusto comparto el vídeo que contiene mi conferencia de clausura del VI Congreso Nacional ABN. El título de la misma fue: "Desmontando argumentos". 



Conferencia final del VI Congreso Nacional sobre Cálculo ABN

viernes, 2 de octubre de 2020

La división por dos cifras, en formato ABN y en formato posicional.

Ha habido un incremento notable de alumnos de 4º, 5º y 6º que trabajan el método ABN en estos cursos. Con el fin de echar una mano a sus docentes, publicamos, con el permiso de la Editorial, el capítulo XII del libro "Enseñar matemáticas con el método ABN en 41, 5º y 6º y preparación para la ESO", en abierto y para que se pueda descargar libremente. 


ACCESO AL DOCUMENTO



martes, 29 de septiembre de 2020

INTERVENCIÓN EN EL PARLAMENTO ANDALUZ.

 


El pasado martes 22 de septiembre tuve el honor de intervenir en el Parlamento de Andalucía ante el Grupo de Trabajo para "Un pacto Social para la Educación en Andalucía". 

Incluyo en esta entrada mi intervención, por si puede ser de interés. Adjunto también los tres documentos que hice llegar a los Sres. Diputados. 

Intervención en el Parlamento

ABN y cálculo tradicional

Un vistazo al método ABN

Método ABN. Referencias.

viernes, 25 de septiembre de 2020

¡AL CONGRESO!

 


Nos vamos al Congreso. No por la excepcionalidad del formato y de las condiciones que lo rodean van a ser menores la ilusión y las ganas que le ponemos. Esta tarde, mañana y pasado estaré en Córdoba para la presentación del mismo, el desarrollo de un taller e impartir la conferencia final y clausurar el Congreso.  

El lunes retomamos las actividades habituales, incluyendo este blog. 

ESTÁNDARES. Ahora los correspondientes a 6º de Primaria.

 Con la publicación de los Estándares correspondientes a 6º Curso concluimos la publicación de estos documentos. Confiamos en que hayan sido útiles. 


https://drive.google.com/file/d/1WEaUTFTe1uQxMyg4dA-GHXeBsOGpb28s/view?usp=sharing

miércoles, 23 de septiembre de 2020

ESTÁNDARES. Ahora los correspondientes a 5º de Primaria.

Continuamos con la publicación de los Common Core o Estándares Estatales Comunes correspondientes a 5º de Primaria.

lunes, 21 de septiembre de 2020

ESTÁNDARES. Ahora los correspondientes a 4º de Primaria.

Continuamos con la publicación de los Common Core o Estándares Estatales Comunes correspondientes a 4º de Primaria.  

https://drive.google.com/file/d/1Krfva8ydVfyBddL5Mpzz8y1tLGkNcsA0/view?usp=sharing



Precocidad y buenos augurios.

El siguiente vídeo es muy breve, pero ilustrativo de los precoces que pueden llegar a ser los niños. En este caso se trata de un alumno en periodo de adaptación, con 2 años de edad que cuenta en el patio de dos en dos. Nada menos.

El vídeo me lo envía Lucía Cabaleiro Martínez. que maestra de Infantil en la EEI "A Marisma", en Redondela (Pontevedra).


https://youtu.be/dL-6pGIlzj8


sábado, 19 de septiembre de 2020

ESTÁNDARES. Ahora los correspondientes a 3º de Primaria.

Continuamos con la publicación de los Common Core o Estándares Estatales Comunes correspondientes a 3º de Primaria.  

https://drive.google.com/file/d/120pRB1Q9-GVZxrJ6PpM7rwNCJLHgVUAR/view?usp=sharing



viernes, 18 de septiembre de 2020

El método ABN en "Cuadernos de Pedagogía".

 En el número correspondiente al 27 de agosto de este año he publicado un artículo de opinión con un título algo inusual: "¡Es la forma de enseñar las matemáticas, estúpido!". Como es lógico y esperable, recomiendo su lectura.  


https://drive.google.com/file/d/1ai3giVDR7sQIi-8kfxta5LhIrKidrrNP/view?usp=sharing

jueves, 17 de septiembre de 2020

martes, 15 de septiembre de 2020

¿De quién son los palillos?

 En el Facebook de Tocamates se incluye esta foto con el título "¿A quién quieren engañar?". Hacen referencia con ello a que el número de palillos real es distinto al que se anuncia en el propio envase. 

Pero traigo esto aquí porque, aunque se trata de una entrada de 2016, surge un comentario. Una seguidora escribe "Bendito ABN" y Tocamates contesta con este otro comentario: "Jajajjaja los palillos son de antes del ABN (esta caja llevaba en el cajón ni se sabe cuánto)" 

Quiero, al hilo de ello, hacer dos consideraciones. La primera es lo bien conservadas que están las gomas para llevar tanto tiempo puestas, como se insinúa. Incluso que hace tantos años ya sabían que nosotros íbamos a poner en las gomas de esos órdenes de magnitud esos colores.  

La segunda, hacer la aclaración de que, evidentemente, nosotros no hemos creado los palillos, como tampoco hemos creado el palo del pincho moruno. Lo que sí es nuestro es el uso intensivo de los mismos, los contenidos en los que se emplean, y los objetivos que creemos que ayudan a conseguir, todo ello desde Infantil hasta los primeros cursos de Primaria. El uso que le damos nosotros no tiene demasiados precedentes hasta ahora (al menos yo no los he conocido y no he encontrado ningún rastro de una utilización anterior a la que pusimos en marcha allá por 2008), sí después de nuestras primeras fotos, hojas de ejercicios y vídeos. Lo digo porque más de una vez nos echan en cara de que nos apropiamos de lo que no es nuestro.  

Y dejo constancia expresa que la advertencia de engaño no iba dirigida a nosotros, sino a lo que decía la etiqueta respecto a los palillos que contenía la caja. 



ESTÁNDARES. Ahora los correspondientes a 1º de Primaria.

 Este documento recoge el currículum de Estados Unidos referido al primer curso equivalente a nuestro 1º de Primaria. Recordamos que las ocho primeras páginas contiene información general para todos los cursos, y que el  currículum de 1º comienza en la página 9. 

Se puede descargar libremente. 

https://drive.google.com/file/d/1H6AFUH2bBIIFk_5gJKBmiiU50-vjrHN2/view?usp=sharing 




domingo, 13 de septiembre de 2020

Los "Estándares Estatales Comunes de Matemáticas", de Estados Unidos.

Los estándares estadounidenses pasan por ser uno de los documentos curriculares más actualizados y de gran repercusión. Han sido elaborados por importantes investigadores y sometidos a un proceso de análisis y crítica muy importante. 

Me los han hecho llegar en castellano, por lo que se convierten en totalmente accesibles. La primera parte del documento es común a todos los cursos, por lo que el contenido propio del nivel correspondiente aparece a partir de la página nueve. 

En lo que se refiere al trabajo nuestro en Infantil con el método ABN, podemos afirmar que vamos muy por delante de lo aquí señalado. Pero el documento supone un gran avance respecto a las prácticas habituales. Por señalar solo dos cosas, recomiendan que el ámbito del conteo sea hasta cien, y que la decena se trabaje en Infantil. 

En sucesivas entradas iré ofreciendo los correspondientes a los seis cursos de Primaria.  

Para acceder al documento pinche aquí 



miércoles, 9 de septiembre de 2020

El cálculo tradicional desde el método ABN.

 Loren Jiménez Gomáriz es el padre de los niños Sergi y Loren. El más pequeño ha terminado 2º y el mayor 3º. Con estos cinco vídeos, hechos en casa y en vacaciones, el padre quiere demostrar cómo los niños ABN son capaces de pasar a hacer las "cuentas de toda la vida" sin mayores historias. Eso sí, comprendiéndolas y dándoles sentido. Dudo mucho que los niños del cálculo tradicional, que llevan dos o tres años haciendo este tipo de restas, las hagan tan bien como Sergi y Loren, pese a que estos acaban de conocerlas.

lunes, 7 de septiembre de 2020

Trabajo Fin de Máster de Ana Alonso Pobes

Un gran TFM de Ana Alonso Pobes. De lectura obligatoria. 


ACCEDE DESDE AQUÍ



Operaciones con polinomios. Comparación ABN con tradicional.

Un interesante y reciente trabajo: la comparación de resultados de la enseñanza de las operaciones básicas con polinomios desde el cálculo tradicional y desde el cálculo ABN. Los sujetos de la prueba son de 12 a 14 años. Es una Memoria de Fin de Carrera de la Universidad Nacional de Educación de Ecuador.  


ACCEDER AL DOCUMENTO AQUÍ



martes, 1 de septiembre de 2020

Inauguramos el curso con dos vídeos desde Holanda.

Comienza un nuevo curso lleno de incertidumbres. Mi deseo es que se desarrolle de la mejor manera posible, dentro de lo que cabe. En una película, cuyo nombre no recuerdo, oí una frase que puede venir bien para darnos ánimos: "Al final todo saldrá bien... y si no sale bien es que no es el final".

Para empezar con buen pie traigo aquí dos vídeos de Dani, el niño hispano-holandés, bilingüe en los dos idiomas, que sigue son su progreso imparable.
Son dos vídeos de tareas hechas en casa, en los que la madre ayuda un poco al hijo. ¡Qué menos! En nuestro sistema educativo Dani habría acabado el Infantil de 3 años y acaba de iniciar el de 4 años.
Ya ha terminado los cuadernos de Anaya de cinco años, y le he tenido que mandar a la madre el Cuaderno 1 de Primaria de "La Calesa", para que siga su progresión. Seguiremos su trayectoria, pues este niño rompe todos los estándares que habíamos establecido para estas edades de Infantil. Y respecto a los del tradicional, ¡qué vamos a decir!







lunes, 31 de agosto de 2020

Vídeos para el verano. Nuestros genios (31 y último). Alicia.

Quiero cerrar esta serie de entregas con una niña del entonces CEIP "Andalucía" (Cádiz), que perteneció al primer grupo que inició el ABN y que, desde luego, ha hecho muchísimo por el método y su extensión. Digo esto por varios motivos. El primero, porque con su desparpajo y su gracia natural ha cautivado a muchísimas docentes y las ha animado a introducir el ABN en sus clases. Era el mejor procedimiento para que a cada una de las nuevas practicantes le surgiera una Alicia en sus clases. El segundo porque junto a ella tenía un grupo muy reducido de niños con los que "probaba" los nuevos contenidos ABN. Tenía muy claro que si Alicia no lo entendía no lo iba a entender nadie, por lo que había que cambiar el diseño de lo que se quería hacer. Hoy Alicia va a comenzar su carrera como bioquímica, tras haber acumulado en su expediente todos los dieces que se pueden sacar en Matemáticas a lo largo de la ESO y del Bachillerato. Siempre la recordaré con mucho cariño.   

Como Alicia es especial, también va a ser especial esta entrada, pues vamos a recorrer sus seis años de escolaridad Primaria.
De 1º no tenemos ningún vídeo, pero sí fotos de sus primeros trabajos:


En 2º tuvimos sus primeros vídeos. El que le publicamos en primer lugar la recogía repartiendo hamburguesas entre sus compañeros. 





Este vídeo grabado en 3º, fue un auténtico desafío. Lo grabé como vídeo de demostración de lo que podrían llegar a hacer los niños con nuestro método. Lo difundí en el acto de presentación de uno de mis libros, con mucha gente y con serias autoridades presidiendo. El asombro que siguió a su difusión fue... impresionante. Se trataba de que una niña de 8 años resolviera una raíz cuadrada de un número de tres cifras mentalmente, y que comprobara, también mentalmente, el resultado utilizando para ello el binomio de Newton.   



Tras lo anterior, resolver una ecuación de primer grado con una incógnita era algo sencillo, incluso si la tal ecuación era más propia de 2º que de 1º de ESO. Fíjense bien en lo que dice la niña cuando la maestra le pregunta que por qué multiplica. 



Y si ya sabe hacer ecuaciones, lo más natural del mundo es que al curso siguiente resuelva sistemas de ecuaciones. Ahí la tienen en 4º, resolviendo un problema, y haciéndolo tan rápido que, como dicen en Jaén, el que madrugó no la vio. 


Con este vídeo de 5º, que tiene la portada equivocada, he gastado más de una broma en alguno de los cursos que he impartido. Lo presentaba como la realización de una simple multiplicación por dos cifras. Claro, el vídeo lo hacía empezar a los 20'', para que no hubiera pistas. Enseguida los asistentes me señalaban que todos los cálculos estaban mal. Yo les decía que no, que eran completamente correctos. Cuando acababa les explicaba a los asistentes que ese producto estaba bien... porque utilizaba la base de numeración cinco, no la de diez. La capacidad de cálculo y la rapidez del mismo impresionan. ¿Qué hace Alicia, y todo mentalmente? Pues pasa los productos parciales a base diez, realiza los cálculos y otra vez hace el camino inverso y los pasa a base cinco. Y todo esto en menos de minuto y medio. 



Y el último vídeo, que también tiene su historia. Grabamos dos: el presente y otro en el que se introducía un factor dentro de los radicales. Fue otro desafío, pues aprovechamos la visita de un profesor chileno (Luis Millán Valdovinos), al que le hacía mucha ilusión ver y trabajar con los niños de los que conocía todos los vídeos. Tras una somera explicación se pusieron a hacer los ejercicios, con el resultado que se ve. Este, normalmente, es un contenido de 3º de ESO. 
Los protagonistas fueron tres miembros del "grupo de investigación", como yo les llamaba, y que ese día estaba algo menguado, porque Alba se había cambiado de colegio y Cristian estaba enfermo. Así que lo hicimos con los tres que teníamos a mano. La verdad es que era una verdadera delicia trabajar con ellos. El profesor Millán Valdovinos quedó muy contento y muy impresionado, y los tres niños muy orgullosos. ¿Y yo? Pues para qué les voy a contar.







domingo, 30 de agosto de 2020

Vídeos para el verano. Nuestros genios (30). Dos grandes promociones.

La promoción de cincuenta alumnos que comenzó Primaria el curso 2010-2011 en el CEIP "Carlos III", de Cádiz, fue muy brillante. Estos niños y niñas tuvieron la suerte de contar con dos grandes maestras: Apolonia Pinteño en 1º y 2º, y Eva Trujillo en los cursos restantes. Ya han concluido la ESO de manera excelente y obteniendo unas calificaciones a años luz de las que, en el mismo IES, cosecharon los alumnos del colegio que trabajaron toda la Primaria con el método tradicional. Aún recuerdo los datos de la primera evaluación en 1º de ESO: los ABN aprobaron con un porcentaje del 84%; los no ABN suspendieron todos. También produjo algún dato insólito, pues uno de los alumnos repitió curso en 3º, y fue el único que repitió... con las Matemáticas aprobadas.
Así, a vuela pluma, a estos dos grupos les debemos: la invención de la doble resta (al comienzo de 2º), el redondeo en la multiplicación (en 3º), la rejilla aplicada a las ecuaciones (en 4º). Aquí empezamos a aplicar el formato posicional de las operaciones, especialmente la división, el trabajo con seriaciones, el álgebra.. En fin, podríamos llamarla la generación pionera, gracias a la cual otros grupos de otros colegios han podido desarrollar brillantemente los tan temidos contenidos que están en la frontera que separa a la Primaria de la Secundaria. He seleccionado dos vídeos. El primero es de 4º de Primaria. Carlos, Noelia, Lucía y Antonio resuelven mentalmente productos que, si bien tienen técnicas de abreviación, requieren de un poderoso cálculo mental.


El segundo vídeo es de 5º de Primaria. Ahora son cinco: Elo, Paula, Lucía, Antonio y Juan. Averiguan, mentalmente, sumas de números consecutivos. Como el anterior, es de los vídeos que cuando los reproducía en charlas, conferencias o cursos, causaba asombro. Y es para eso. ¿Cómo lo hacen? Pues es muy sencillo: elevan el número al cuadrado, le suman ese mismo número y hallan la mitad de la suma obtenida. Nada, un juego de niños. 
  

La segunda promoción es la que concluyó la Primaria dos cursos después en el CEIP "Alba de Plata", de Cáceres, comandados por Juan Antonio Durán Siles. Alcanzó un nivel altísimo y precisamente en esos contenidos a los que tanto miedo se les tiene: álgebra, ecuaciones, raíces, etc. Pero esta promoción tiene algo muy singular: comenzó a trabajar el ABN por vez primera en ¡4º de Primaria! La hazaña no fue pequeña. Tampoco ha sido fácil seleccionar dos vídeos de toda la producción, teniendo en cuenta que muchos de ellos han aparecido en los artículos en que, de manera irónica, veíamos las "desventajas" de proseguir con el ABN a partir de 4º de Primaria. Pero hay que ir a ello.
El primero es una demostración de la alta capacidad de cálculo que alcanzaron estos alumnos.



Del segundo vídeo no es matemático. Me impresionó profundamente. Si en el anterior los chicos y chicas pusieron de manifiesto la calidad de sus aprendizajes, en este muestran su altura humana. Y no digo más. Véanlo.

sábado, 29 de agosto de 2020

Vídeos para el verano (29). Óscar.

Óscar, por muchas razones, fue uno de esos niños con los que tuve la suerte de cruzarme. Es de la primera promoción ABN, la que comenzó con el curso 2008-2009 en el entonces CEIP "Andalucía", de Cádiz, con Concha Sánchez.

Como curiosidad quiero empezar con una foto de una de sus primeras cuentas ABN. Era precisamente en 1º de Primaria.



Con el siguiente vídeo causó asombro y sorpresa. Se trataba de resolver, dándole sentido, una ecuación de primer grado que incluía una fracción. Una cosa "sencilla", de 1º o 2º ... de la ESO. Recibí muchos comentarios y correos, la mayoría de ellos en contra de estos experimentos y no pocos algo insultantes. Hasta hubo un maestro (¡en qué manos, a veces, ponemos a nuestros niños!) que juraba que eso lo harían muy bien los niños de su colegio, pero que no lo hacía porque se lo había prohibido el inspector. Cuando le pregunté que qué ocurría si se desobedecía la orden, contestó que entonces le mandaba al director hacer muchos papeles...
Aquí tenemos a Óscar, con 8 años, en 3º de Primaria y en el curso 2010-2011. La calidad de la grabación no es muy allá. 



Ha pasado un año. Ya está en 4º y estamos, claro, en el curso 2011-2012.

Reposiciones. Conferencia sobre Educación Especial en Burgos.

Fue en Febrero de 2018, en el incomparable marco del Museo de las Edades del Hombre. Creo que es la única conferencia que he tenido sobre EE. Se ve y se oye bien (no tanto la reproducción de los vídeos), aunque al final está cortada cuando comienza el coloquio. 



jueves, 27 de agosto de 2020

Vídeos para el verano. Nuestros genios (28). Dani.

Dani es de 3º de Primaria, del C.C. "Engeba", de Valencia. Su maestro es Sergi Lerma.
En el vídeo está confinado, así que es una grabación casera. Lo que no es casero es su contenido. Es de asombro y, sin ser exhaustivos, por tres razones: por su edad (8 años cuando se grabó el vídeo), por su razonamiento, y por su capacidad de cálculo.
Habría que añadir también su desenvoltura y su seguridad, sin que se sepa cuál va antes o si alguna de ellas depende de la otra.   



martes, 25 de agosto de 2020

Vídeos para el verano. Nuestros genios (27). Daniel.

Algunos de los vídeos de Teresa Fernández Espejo (CEIP "Isidoro Vilaplana", de Andújar), cuando trabaja con sus alumnos, dan contenido suficiente para una investigación. Este es uno de ellos.
Daniel,cuando se grabó el vídeo, era alumno de Infantil de 5 años. Nunca había pasado, ni contando ni operando con los números, del cien. Pero a Teresa se le ocurrió plantearle al niño, que calculaba muy bien los dobles, que hallara el correspondiente a 52. ¿Cómo se las arreglaría el niño ante esta situación totalmente nueva? ¿Cómo utilizaría sus conocimientos anteriores? Pues muy bien. Siguió el siguiente proceso:
1º. Él suma primero las decenas, y tiene 10.
2º. Suma las unidades, y tiene 4.
¡Ya está! Las cuatro unidades no las puede poner en lugar del cero, porque no son decenas. Luego pone las unidades después, y obtiene el número 104. 

Recomiendo también que vean dos vídeos en los que se pregunta a niños de tres años por la conservación de la cantidad. Se cargan a Piaget.

lunes, 24 de agosto de 2020

La resta tradicional y el ABN.

La presenta Loren Jiménez Gomáriz en el grupo de Facebook CÁLCULOABN. Lo hace de la siguiente forma:
"¡Después de trabajar ABN, los niños tienen que aprender la metodología tradicional y eso es marearlos!"
Seguro que nos suena a todos porque es una excusa muy recurrida para poner pegas para trabajar ABN. Pues sí, debe ser algo muy difícil. Aquí se ve un alumno ABN que ha acabado segundo y otro que ha acabado tercero, con el curso que hemos tenido, y ellos solos han deducido cómo arreglar la resta y resolverla. Todo sin explicarles nada de arreglar resta ni nada. La única explicación ha sido recordar que en la metodología tradicional se empieza a operar por la derecha. Lo demás lo han resuelto ellos solos al enfrentarse al problema de resolver la resta, con el método tradicional, con los palillos. Las que se ven son las primeras restas que realizan por la metodología tradicional y el resultado ahí está.
En menos de un minuto, resuelto. En cuanto se han visto delante los palillos para resolver la resta.
Y que se diga que hay que dedicar todo un curso o un trimestre para pasarlos a la metodología tradicional...
Afortunadamente, estos niños se han beneficiado de trabajar ABN en los primeros cursos. Desgraciadamente, no van a seguir porque en su centro se ha decidido que se trabajará sólo hasta el segundo trimestre de segundo de primaria."


Estas cosas (cortar ABN o prohibirlo, directamente) ocurren solo en la escuela pública. Creo que dicen que es por el bien de los niños. Cuando comience el curso le dedicaremos un poco espacio a estas majaderías. 


domingo, 23 de agosto de 2020

Vídeos para el verano. Nuestros genios (26). Comprando miel.

El niño, del que no dicen el nombre, es del CEI "El Faro", de Algeciras. Es de Infantil de 5 años. Tiene que leer los precios de los diferentes tarros de miel, elegir uno de ello y, en función de su precio, coger el dinero necesario para pagarlo. Nada menos y con esa edad. 
La maestra que habla es Mª Mar Quírell, si bien el niño no es de su clase, sino de la paralela. Del nombre de la maestra solo sabemos que es Luisa. 

viernes, 21 de agosto de 2020

Vídeos para el verano. Nuestros genios (25). Sergio. Más rápido que la calculadora.

Sergio, cuando se grabó el vídeo, estaba en 3º de Primaria, pero confinado en su casa. Iba al CEIP "Virgen de la Ribera", de Paracuellos del Jarama (Madrid) y estaba en la clase de Carlos García Raboso.
¿En qué se entretiene? Pues en calcular de forma casi instantánea el doble de cualquier número que se le diga. Evidentemente, tarda menos que una calculadora porque no se tienen que teclear los números. Pero es rápido como el viento. Además de la rapidez del cálculo tiene mucha personalidad. Atiendan a ver cómo se despide al final del vídeo.

miércoles, 19 de agosto de 2020

Vídeos para el verano. Nuestros genios (24). Javier: el super-experto en decenas.

Javier fue alumno de Infantil del CEIP "Huerta Retiro" (Mairena del Alcor, en la provincia de Sevilla). Tuvo como maestra a Alicia Rodríguez Jiménez. Le llamo super-experto en decenas porque cómo si no hay que llamar a un alumno de Infantil de 5 años que ya en el segundo trimestre del curso  es capaz de discriminar entre "cantidad de" y "número de" en un orden de magnitud.
Hay que notar que la maestra lo pone a prueba, porque no termina de creerse lo que hace el niño. Como le pasará a quien vea este vídeo. 



lunes, 17 de agosto de 2020

Vídeos para el verano. Nuestros genios (23). Los primeros genios de Conchi Bonilla.

Conchi Bonilla comenzó a aplicar el método ABN con una promoción que asombró por sus resultados y por unos vídeos que retransmitían en directo las primeras hazañas de los niños. Comenzó a trabajar con ellos en el curso 2012-2013, en Infantil de 4 años, y acabó el curso siguiente, claro, que fue el 2013-2014. En este curso se fecha el vídeo en el que se ve, con toda naturalidad, cómo los niños doblan cantidades y cómo al llegar a cien no se asustan en absoluto.

sábado, 15 de agosto de 2020

Vídeos para el verano. Nuestros genios (23). Isaiah.

Isaiah fue alumno del CEIP "San Rafael", de Cádiz. Tuvo la suerte de cursar toda la Primaria con dos magníficos maestros: Mari Carmen Rodríguez Reyes, en 1º y 2º, y Francisco Gamero durante los restantes cursos.
Lo traigo aquí por su gran capacidad de comprensión, además de su potente cálculo mental.

Sobre lo bien que calculaba da fe esta foto de su cuaderno, en el que resolvía una compleja doble resta en un solo paso. Era en 2º de Primaria.   


Si la foto anterior da muestras de su cálculo, el siguiente vídeo, de 4º de Primaria, es un ejemplo de comprensión de los procesos. Atiendan bien a la explicación que da, porque hizo de una vez, por simple deducción, la operación siguiente: 63 247 : 42. No pierdan detalle, porque es un vídeo muy breve.

jueves, 13 de agosto de 2020

Vídeos para el verano. Nuestros genios (22). Yoel.

Yoel fue alumno de la primera promoción ABN de la historia. Comenzó el curso 2008-2009 en el CEIP "Andalucía", de Cádiz (hoy "Profesor Juan Carlos Aragón") y a lo largo de sus seis años de escolaridad destacó por su brillantez.
Traigo aquí dos vídeos, uno correspondiente a 2º de Primaria, cuando apenas íbamos descubriendo los efectos del método, y el otro de 4º de Primaria, cuando ya explorábamos, a veces con temeridad, hasta donde podían llegar los alumnos.

El primer vídeo es del curso 2009-2010. Este vídeo, como otros de más niños, tuvo un gran impacto y por él y por su forma de resolver un problema de restar enamoró a muchas docentes y las atrajo hacia el ABN. El detalle del recurso al abuelo ponía de relieve que en aquel año se estaba pasando una grave crisis económica.



En el curso 2011-2012, y con un grupo reducido de tres niños y dos niñas, probábamos lo que después habría que enseñarles a toda la clase y, además, y con muchísimo interés, explorábamos hasta donde podían llegar los niños en su progreso. Yoel llamaba la atención por su rápida comprensión de los procesos y por un procesamiento numérico asombroso. Su memoria de trabajo era fuera de lo normal. Por ello quise probar con él algo tan difícil como resolver mentalmente una raíz cuadrada de seis cifras. Concretamente la raíz de 688 588. Nada menos. En el vídeo aparece también otra niña (Alba), que ya había aprendido de Yoel y que resuelve la raíz cuadrada con más ayudas y con números más pequeños.
Causa asombro la complejidad de los cálculos que tenía que resolver mentalmente un niño que todavía no había cumpido los diez años. Ahí queda.




martes, 11 de agosto de 2020

Vídeos para el verano. Nuestros genios (21). Alumnos de Infantil de Roa de Burgos.

Estos tres vídeos, correspondientes al curso 2014-2015, aún causan asombro. Contienen la resolución de tres problemas de sumar utilizando la operación de sumar y los símbolos de la numeración. El primero suma las cantidades de 16 y 12, el segundo las de 44 y 57, y el tercero las de 143 y 110. ¿Y por qué ese asombro? Porque el primer problema lo resolvía una niña de Infantil de 3 años, el segundo otra niña de Infantil de 4 años, y el último un niño de Infantil de 5 años. 
Los vídeos no tienen buena calidad, pero se dejan ver, aunque a veces hay que fijarse un poco. 

El colegio se llama "San Miguel", y la maestra es Patricia Briones Tamayo, que explica así como lo ha hecho. Esa explicación es generalizable a los otros dos vídeos. 

"Para llegar al momento de la suma con niños de 3 años, hemos trabajado mucho todo el curso.
Es muy importante jugar con materiales manipulativos, puedes utilizar palillos para que ellos puedan contarlos, formar decenas...componer números, descomponer, quitar y poner, ordenar y desordenar, contar de 2 en 2, de 3 en 3...creando historas, trabajando mayor y menor... El manejo de la tabla numérica también es importante.Hay un trabajo previo, pero la verdad es que los resultados son satisfactorios y los niños están motivados. Un saludo"









domingo, 9 de agosto de 2020

Vídeos para el verano. Nuestros genios (20). Nasrin.

Nasrin estaba en el curso 18-19 en 3º de Primaria del CEIP "Gallego Burín", de Granada. Realiza un producto mentalmente y, para que no haya dudas, explica como lo ha hecho. No es una fruslería, pues tiene que multiplicar un número de tres cifras por otro de dos, con decimales.
¿Qué tendrá el "Gallego" para juntar a tantos niños y niñas sobresalientes? A lo mejor tiene a LGE, que no es precisamente una marca de electrodomésticos. 

viernes, 7 de agosto de 2020

Vídeos para el verano. Nuestros genios (19). Jesús.

Jesús no es que sea uno de nuestros genios. es una de nuestras joyas. Fue alumno del CEIP "Lapachar", de Chipiona, y acabó la Primaria en junio de 2014. Perteneció a un grupo de alumnos que, junto con el otro grupo de ese nivel (3º) comenzó la ardua tarea de pasar del método tradicional al ABN ya en 3º. Ello fue obra de dos maestros animosos: Juan Carlos Prieto y José Manuel Ávila. Tuve la suerte de poder seguir sus progresos casi mes a mes, y de echar una mano en lo que fuera posible.
He seleccionado tres vídeos de Jesús. Los dos primeros son de 4º, y en ellos realiza una suma y una resta con decimales mentalmente con mucha solvencia y seguridad. Pero el vídeo "estrella" es el último. Para quien ya lo conoce, a volverlo a disfrutar. Y para quien no lo conoce, a sorprenderse, sobre todo con el final. 






Por si tienen tiempo (1). Una entrevista en la TV de CyL.

Con motivo de mi intervención en unas Jornadas promovidas por el Centro de Profesores de Burgos, fui entrevistado por la televisión de Castilla y León. De esa entrevista se ocupa este vídeo. Puede haber alguna clave para los que no conozcan mucho el ABN. 

miércoles, 5 de agosto de 2020

El método Abierto Basado en Números (ABN) como innovación educativa para la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas ecuatorianas

"El método Abierto Basado en Números (ABN) como innovación educativa para la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas ecuatorianas".

El artículo, recién publicado, recoge una investigación en la que a una muestra de 320 estudiantes universitarios, de los que la mitad han recibido un entrenamiento en técnicas básicas del método ABN, se les somete a una prueba de contenido geométrico con el fin de determinar si la las habilidades que proporciona el método ABN marcan diferencias significativas respecto a las exhibidas por los estudiantes que no las poseen. Las conclusiones son claras: sí, hay diferencias significativas.

Según esta investigación, el conocimiento de las habilidades propias del ABN es muy recomendable también para estudiantes universitarios. 





Vídeos para el verano. Nuestros genios (18). Andrea.

Andrea era alumna de Infantil de 5 años en el CRA "Los Pinos", de Pinos del Valle (Granada). Su seño es Lucía García Martínez. Trabajan la relación una a tres (el triple de una cantidad, vamos) y cuando lo ha hecho con objetos en el caso de los tres primeros números, le pide la maestra que le diga cuántas corresponderían a 4, pero haciéndolo solo en su cabeza.
Y como es una genio, pues lo hace. 

lunes, 3 de agosto de 2020

Vídeos para el verano. Nuestros genios (17). Noelia.

Noelia también ha sido finalista de las becas de la Fundación de Amancio Ortega para hacer los estudios de Bachillerato en el extranjero. Del "Carlos III" de Cádiz, y con Eva Guerrero como maestra, forma una trilogía muy difícil de reunir: nótese que la ganadora de la beca y dos de las finalistas eran de la misma clase.

El primer vídeo hay que verlo con atención, porque fue un experimento que realizamos con ella en 2º de Primaria. Le propusimos que realizara una suma con decimales en los dos sumandos. No es tan difícil, se puede pensar. Pero lo es y mucho. Era la primera vez que la hacía y no se le había explicado nada. Queríamos saber hasta qué punto era capaz de extender lo que sabía en las sumas sin decimales alas que sí los llevaban. Cuando se grabó el vídeo Noelia tenía siete años.



Un curso después, en 3º, nos metimos en más "harina". Un alumno de ese curso había redondeado, por primera vez, un producto. Se generalizó el procedimiento y Noelia nos sorprendió con lo que hizo con la siguiente multiplicación. Una maravilla de cálculo y de inteligencia.

sábado, 1 de agosto de 2020

Vídeos para el verano. Nuestros genios (16). Paula.

El video nos retrotrae al año 2016, cuando Paula cursaba 6º de Primaria en el CEIP "Carlos III", de Cádiz, con su maestra que era Eva Guerrero. Ya ha terminado la ESO con brillantes resultados. También solicitó la beca de la Fundación de Amancio Ortega para estudiar en el extranjero, junto a otros diez mil aspirantes. Quedó finalista.

En el vídeo resuelve una división posicional con cifra decimal en el divisor. La resuelve en menos de un minuto, con una gran seguridad y con la explicación, en cada momento, de lo que está haciendo. 

viernes, 31 de julio de 2020

Introducción al Método Matemático ABN en México.

El maestro Jesús González Molina fue el primer docente en trabajar el método ABN en México, además de crear material gratuito para trabajar el método. En estos momentos se encuentra mejorando su formación y continuando la expansión del método en su país. 

jueves, 30 de julio de 2020

Vídeos para el verano. Nuestros genios (15). Laura.

Cuando se grabó este vídeo Laura era alumna de 5º en el CEIP "Carlos III" de Cáidz. Era su maestra Eva Guerrero. Posteriormente terminó la ESO de manera brillante. Ello la llevó a solicitar una beca de la fundación de Amancio Ortega para cursar el Bachillerato en el extranjero. Y fue elegida de entre diez mil solicitantes. Si el Covid lo permite, la tendremos estudiando en Canadá los próximos cursos.
En el vídeo Laura realiza una exhibición de razonamiento matemático: deduce la fórmula por la cual se halla la suma de los X primeros números, la traslada al lenguaje matemático y la pone a prueba realizando un cálculo con la misma. Para una niña de 5º, con un contenido de 3º de ESO, no está nada mal.



El curso anterior, en 4º, les dio a algunos alumnos de esta clase por seguir inventando. En el vídeo nos explica Laura cómo se puede llegar al número 15 406 a partir del número 6. Hay que darles vueltas al magín para llegar al resultado que llega.




martes, 28 de julio de 2020

Vídeos para el verano. Nuestros genios (14). Amina.

Amina ya está en 3º de Primaria. Pero aquí estaba en el último curso de Infantil, con su seño Conchi Bonilla, en el CEIP "Sagrado Corazón" de Getafe. Le dijo a su seño que era capaz de contar de cuatro en cuatro, y lo hizo llegando hasta casi cien. Como se puede ver en el vídeo, sin ningún tipo de ayuda, sin fijarse en la tabla que tenía detrás. Una gran hazaña para una niña genial.

domingo, 26 de julio de 2020

Vídeos para el verano. Nuestros genios (13). Diego.

Diego ha terminado 5º de Primaria, pero cuando se grabó este vídeo estaba en 3º. Es del CEIP "Blasco Ibáñez", de Alzira, de la "escuela" de Rosa Piera. Hace lo que hacía Albert, nuestro anterior genio, pero sin extraer tantos decimales. En lo que sí está igual respecto a Albert es en simpatía y en seguridad. Tiene el detalle de dedicarme el vídeo. Cuando hablaba yo con su maestra, me refería a él como "el artista que viene de París".



viernes, 24 de julio de 2020

Vídeos para el verano. Nuestros genios (12). Albert.

Albert es alumno de 5º (bueno, lo era; ahora ha terminado muy bien 1º de ESO) del CEIP "Gallego Burín", de Granada. Su maestra era Lucía García España. Con ese desparpajo y con esa seguridad resuelve la división  2,35 : 7. En principio no parece muy difícil, pero Albert va mucho más allá y extrae decimales... ¡hasta al millonésima! Y porque lo paran, si no nos hace una demostración clara que abarca a la vez el sentido de los números irracionales y la infinitud de los  mismos.