El artículo prometido sobre la operación de compensar.

Me han llegado observaciones y sugerencias respecto a la operación de compensar y, específicamente, si la misma no es más que la repetición más o menos disfrazada de las que integran procesos de igualación: resta en escalera ascendente y resta en escalera descendente.

Dada la novedad del planteamiento, no viene mal que hagamos algunas precisiones.

La operación de compensar no implica situaciones de igualación tal y como estas están definidas en la bibliografía al uso. En una situación de igualación, una de las cantidades permanece fija, mientras que es la otra la que experimenta variaciones. En el caso de la compensación, ambas cantidades experimentan cambios y de un tipo muy peculiar: son simultáneos e inversos. Es verdad que se han de igualar las cantidades, pero no se sabe en qué momento se va a producir esta igualación. Es más, averiguarlo es el paso previo para la solución de la operación.

En realidad, la operación de compensar es una suma truncada o interrumpida. Respecto a la suma hay dos diferencias fundamentales. La primera es que en una suma de dos sumandos se va añadiendo uno de ellos al otro, hasta que se agota o desaparece el que se va añadiendo. En el caso de la compensación, el proceso es idéntico, pero sólo hasta que ambos sumandos alcanzan el mismo cardinal. La segunda es que, mientras en la suma el resultado final es el cardinal del sumando al que se ha acumulado el otro, en la operación de compensar el resultado final es la suma de las agregaciones que se han realizado hasta que se ha alcanzado la igualdad entre ambos sumandos.

Pongamos un ejemplo para aclarar lo explicado. Sea la suma 68+42. En esencia, se irán acumulando los 42 elementos del segundo sumando en el primero. Se hará hasta que se agote el sumando 42, y el resultado será lo que resulte de tal acumulación (110). En el caso de la operación de compensar, se hace trasvase siempre desde el mayor al menor, y sólo hasta que se igualan ambos sumandos. En este caso, cuando se traspasan 13, ambos sumandos quedan en 55. El resultado no  es la acumulación de uno de los sumandos, sino la parte que se ha traspasado (13).  

Respecto al tipo de problemas que venga a resolver, los de compensación son de dos o tres operaciones, y encajan en la categoría semántica de “Compartir el todo”, según la terminología de Nesher y Herskovitz. Normalmente hay dos vías alternativas para su resolución. La más general es la suma de las cantidades iniciales y la posterior división por dos para hallar el punto de igualdad. A partir de ahí, se detrae esa cantidad del sumando mayor para averiguar el cardinal del traspaso. En el ejemplo que venimos usando sería: 68+42= 110; 110: 2= 55; 68-55=13. La segunda es más rápida, más difícil de conceptualizar y tiene más complicada aplicación cuando se trate de compensar en el caso de que hubiera tres sujetos o más. En el mismo ejemplo: primero se establece la diferencia (68-42=26) y luego esa diferencia se divide entre dos (26:2=13). Se obtiene así directamente el resultado. En cualquier caso es un problema difícil. Nótese que es de los pocos que ofrece sólo dos datos y, sin embargo, puede comprender hasta tres operaciones. 

¿Cuál es nuestro propósito al introducir esta nueva operación? No, desde luego, que resuelvan los alumnos las compensaciones por ensayo y error. Pero sí que, antes de abordar la solución aritmética, entiendan conceptualmente qué significa la compensación, qué características tiene y cómo pueden desarrollar una capacidad estimativa que les ahorre los cálculos cuando la precisión que se les exija lo permita.