Un comentario con mucho contenido.

En mi entrada del 7 DE Septiembre de 2013 ("Sobre los límites que no se pueden traspasar"), Simplicio ha incluido un comentario al que quiero contestar en detalle. Quise hacerlo en su lugar correspondiente, pero al extensión de mi respuesta no "cabía" en el espacio reglado para tal fin.
Por ello, recurro a la nueva entrada. Sin más comentarios, pongo en primer lugar lo que ha escrito Simplicio y, detrás, lo que le contesto.



SIMPLICIO:

En Ciencia, si la pedagogía ha de serlo, las afirmaciones sobre la bondad de un método sobre otro deben ser demostradas científicamente. Usted debe saber perfectamente cómo, pero permítame ilustrar al lector. Sobre dos muestras estadísticamente significativas y comparables se contrastan las hipótesis de trabajo. Las muestras deben cumplir ciertas propiedades y el experimento ha de ejecutarse en idénticas condiciones, asépticamente, sin prejuicios ni convicciones infundadas, para no influir en sus resultados. Los resultados cuantitativos deben ser revisados por sus pares y avalados por su publicación en una revista internacional de reconocido prestigio (existen índices bibliométricos para conocer si una lo es). Es entonces cuando los resultados del estudio pueden ser validados por investigadores independientes, quizás en otros países, o refutados. Esto no tiene nada de particular y es así como avanza la Ciencia experimental, desde la Medicina hasta la Física de partículas.

Si se desea, puede medirse cuantitativamente, y con precisión, el tiempo y la corrección de operaciones desarrolladas por sujetos de ambas muestras para diversas operaciones correspondientes a cada una de las cuatro reglas elementales. Estoy convencido de que, para pocas cifras, los alumnos entrenados en el cálculo mental superarán a los que no lo estén. Sin duda, los alumnos entrenados en el método que propone, pertenecen a la primera categoría y, desgraciadamente, el resto, normalmente no.

Pero me preocupa lo que pueda ocurrir al desarrollar operaciones en las que ambos operandos consten de un número elevado cifras, incluyendo decimales. En especial, la división. Me preocupa también el impacto a largo plazo que pueda tener el método sobre el aprendizaje de otros conceptos, algunos en la frontera de la educación superior. Los experimentos pedagógicos, como los médicos, son algo muy delicado, pues se realizan con personas. En el caso que nos ocupa, además, los sujetos son niños y se les prescribe un tratamiento largo, que abarca toda la etapa de su educación primaria.

Por supuesto, no es el cálculo numérico la única competencia que un alumno puede desarrollar con el aprendizaje de la aritmética, pero no me negará que cabrá esperar que tras seis años de trabajo un alumno sea capaz de desarrollar operaciones como las descritas con eficiencia y corrección.

Francamente, me gustaría encontrar publicaciones con datos absolutamente incontestables sobre este particular. No intuiciones, ni experiencias. Hechos demostrables científicamente. Si conoce alguna, le ruego me lo indique.

Por otro lado, los algoritmos tradicionales se fundamentan directamente en el sistema posicional subyacente. Sin duda, estará de acuerdo en que la adopción de sistemas posicionales fue uno de los grandes logros de la historia de la Matemática. Compárense el gran desarrollo de la Matemática babilonia (que empleaba un sistema de numeración sexagesimal) con la práctica ausencia de avances en el periodo romano. Y es que, si me permite la broma, multiplicar con números romanos es labor ardua. Cuando se cambia de base de numeración y se estudian, por ejemplo, los sistemas binario, octal y hexadecimal (de importancia capital en el estudio de la electrónica digital y los computadores) y la trigonometría, no es necesario realizar ningún cambio sobre los algoritmos tradicionales. Son los mismos, puesto que se fundamentan en un sistema posicional que puede parametrizarse mediante un cambio de la base de numeración. No parece este el caso de otros métodos. 

Además, el cálculo con polinomios y series de potencias, fundamental en la educación secundaria y en la educación superior técnica y científica, también se fundamenta en un sistema posicional (solo que, en este caso, es simbólico), por lo que, de nuevo, los algoritmos numéricos tradicionales pagan sus réditos a largo plazo en estas cuestiones.

Todo método posee ventajas e inconvenientes. Nos habla usted mucho de las ventajas, pero poco de los inconvenientes. Sin duda es muy loable que se fomente el cálculo mental y resulta patente que, en su concepción, este método así lo hace. No obstante, si los profesores que emplean los métodos tradicionales no consiguen esto de sus alumnos, no es por un defecto inherente de los algoritmos tradicionales, sino porque se han entregado a la memorización y a otras prácticas poco pedagógicas. No es en absoluto complicado, por ejemplo, sumar mentalmente números de varias cifras en un sistema posicional. Simplemente, la falta de costumbre hace que a la mayoría de la población esto se le antoje una tarea formidable. Permítame ilustrar este particular con dos sencillos ejemplos.

Recuerdo a personas ya ancianas que, sin haber disfrutado de los beneficios de una educación universal y reglada, de suministros de lápiz y papel ilimitados, y, ni que decir tiene, de calculadora alguna, estaban acostumbrados a realizar estas operaciones mentalmente por lo que todos conocemos como «la cuenta de la vieja», un método que si se piensa despacio no difiere mucho del que propone y en el que estas personas se entrenaban de manera natural, al hacer la compra o realizar otras tareas cotidianas.

Del mismo modo, los viajeros que visitaban la Rusia del siglo XIX se sorprendían de que los campesinos fueran capaces de multiplicar números de varias cifras sin conocer las tablas, por un método que solo añade a la capacidad de sumar la necesidad de saber cómo duplicar y obtener la mitad de un número natural, y de distinguir los números pares de los impares. Curiosamente, este es, en realidad, un algoritmo tradicional fundamentado en un sistema posicional binario en lugar de decimal. Probablemente, además, uno de los más antiguos que se conoce en su clase, pues aparecen ejemplos de su uso en papiros egipcios.

Como podrá observar en estos sencillos ejemplos, el entrenamiento mental no surge en ellos como consecuencia del algoritmo particular empleado, sino de su método de aprendizaje, provenga de la mera necesidad o de la disciplina académica. Dicho esto, personalmente prefiero conocer ambos métodos que cualquiera de ellos por separado.

CONTESTO

Le agradezco mucho el tono de sus comentarios y el respeto que expresa. No se vaya a pensar que es lo más habitual. En segundo lugar también le agradezco las molestias y el tiempo que le dedica. Ello indica que se toma la cuestión en serio y no emite unas opiniones a la ligera, sino que procura fundamentar lo que dice. Y dice usted muchas cosas sobre las que quiero expresarle mi punto de vista.

La entrada en la que usted coloca su comentario sostiene, creo que con energía, que de ningún modo se obligue a los que trabajan con ABN a que dejen de hacerlo. Esta es la cuestión fundamental de la entrada, formulada con más o menos acierto o con mayor o menor ropaje. Sobre ello usted no se pronuncia. ¿A usted le parece bien que un maestro se escude en su libertad de cátedra para no adoptar un método que produce mejores resultados que el tradicional -como es observable, aunque luego entremos en detalles-  y que al mismo tiempo pretenda que otro compañero no pueda ejercer esa misma libertad si por el uso de la misma adopta una forma de trabajo distinta a la del prohibidor? Este es el asunto de fondo de mi entrada, y no otro.

En su comentario usted aborda varios temas. Si no le he entendido mal, en primer lugar cuestiona que podamos afirmar que el ABN es mejor que el tradicional si tal aspecto no se demuestra científicamente, utilizando para ello el método experimental en todo su rigor. En segundo lugar, habla de la medición cuantitativa del tiempo y la corrección de las operaciones y hace unos pronósticos sobre los resultados en función del tamaño de los términos de esas operaciones. En tercer lugar, expresa sus preocupaciones sobre el ulterior desarrollo del método y las consecuencias negativas que pudiera tener cuando el alumno haya de abordar conceptos matemáticos superiores. En cuarto lugar, señala que, al fin y a la postre, tampoco es tanto mérito que el alumno, tras seis años de escolaridad, resuelva las operaciones con eficiencia y corrección. En quinto lugar me pide que le señale publicaciones donde los datos a favor del método ABN sean incontestables. En sexto lugar, me habla de la importancia del sistema posicional, la revolución que supuso en su momento y cómo el mismo facilita el acceso a otros contenidos matemáticos: bases de numeración distintas de diez, trigonometría, polinomios y series de potencias. En séptimo lugar indica que con el método tradicional se pueden obtener los mismos resultados que con el ABN, y que si no esto no ocurre es por un sesgo memorístico en el proceso de enseñanza de los maestros. En penúltimo lugar expone cómo personas sin instrucción también hacían cálculos de cierta complejidad (y dice que de alguna manera tal modo de obrar guarda paralelismos con nuestro método) y relata el uso práctico de la técnica rusa de multiplicación. Termina usted, y yo este larguísimo párrafo, diciendo que usted prefiere conocer ambos métodos que no uno solo. Si le parece, le contesto uno a uno.          

 ¿SE PUEDE AFIRMAR QUE EL MÉTODO ABN ES MEJOR QUE EL TRADICIONAL?       

En Pedagogía y en muchos estudios sociales no siempre es posible aplicar la metodología experimental del mismo modo que se puede hacer con realidades físicas. Por ello es común que se usen métodos cuasiexperimentales y, si el tipo de realidad a abordar lo permite, métodos cualitativos. En muchos casos no se puede ir más allá de evidencias empíricas. Usted debe ser consciente de que los alumnos se presentan en conglomerados, siguen unos procesos reglados de escolarización, que no son fáciles de alterar. No, no se pueden manipular como sí se dejan las partículas en la física. Por otra parte, me alegra que usted le dé tanta importancia a nuestro trabajo que pretenda que pase unos controles y escrutinios por los que no pasa ninguna otra de las tareas escolares. Si para cualquier innovación que se produzca en la escuela se ha de cumplir el itinerario que usted señala, estaríamos como hace cien años.

      Por otro lado, hacemos lo que podemos. En la revista “Bordón” (2011, 63-4, pp. 95-110) se recoge un artículo en el que doy cuenta de los resultados de la evaluación que hicimos con todo el rigor posible. La revista mencionada está considerada como la de mayor impacto en el mundo educacional y, por supuesto, los artículos que se proponen son revisados por pares. En el mismo se da cuenta de unos primeros resultados en los que los alumnos ABN superan significativamente a los que no lo son tanto en cálculo mental como en cálculo con papel y lápiz, así como en resolución de problemas y en la capacidad de explicación de esa resolución. Hemos hecho más pruebas internas, que apuntan a lo mismo. Hemos comparado los resultados que obtienen nuestros alumnos en las pruebas externas comunes a todos los centros escolares de Andalucía (las “Pruebas de Diagnóstico”) y sigue manifestándose esa diferencia, que en algunos ítems es muy pronunciada. En este momento se están desarrollando dos tesis doctorales que estudian las diferencias entre unos u otros alumnos. Una de ellas está muy avanzada y ha hecho acopio de una buena cantidad de datos. Se han obtenido con todo el rigor: se han grabado las entrevistas, se han medido los tiempos, etc. Incluso se han podido obtener datos de alumnos extranjeros (finlandeses por más señas). Conozco esos datos, pero no puedo contarlos ni publicarlos porque la lectura de la tesis ante el correspondiente tribunal ha de dar cuenta de un contenido inédito.  

      Tenga también en cuenta nuestra juventud. Si descontamos la fase inicial, que fue muy limitada, el curso que acaba de comenzar es el cuarto. Quiere decir que tenemos una perspectiva de tiempo muy corta. El único grupo (fíjese que poco significativo) que comenzó en el curso 2008-2009 comienza ahora 6º de Primaria. Ni siquiera ha acabado la etapa. La mayoría de los grupos que empezaron desde Primero en el curso 2010-2011 comienzan ahora 4º. Aún no contamos con algo muy importante: la incorporación a la Primaria de los niños que han seguido ABN en Educación Infantil, pues hasta ahora se comenzaba a trabajar con alumnos que llegaba a Primaria con un bagaje matemático paupérrimo.  

      Quiero también entrar en otra cuestión de fondo. ¿De verdad que si no hay medición experimental no hay evidencias de nada? ¿En todos los terrenos? ¿No puede haber aproximaciones, no puede darse tanta distancia entre lo que se hace que, prácticamente, la medición de esa diferencia pierda relevancia? Si un sujeto que mide 1’70 va acompañado de otro que mide 2 m, ¿no podemos establecer si uno es más alto que el otro hasta que no haya una medición exacta? Y algo más. En nuestro método los alumnos trabajan habilidades y destrezas de las que no se ocupan los del método tradicional. ¿Cómo se compara esto? ¿Cómo se halla la diferencia que existe entre dos partes cuando una de ellas es cero?

      Para lo que podemos hacer, para el tiempo y los instrumentos de los que disponemos, algo hemos podido concluir de forma no gratuita ni voluntariosa. Le remito a los cerca de quinientos vídeos y a los cientos y cientos de fotos que hay en la red. Y denos tiempo. Desarrollar una investigación, realizar una tesis doctoral, publicar un artículo en una revista de impacto lleva mucho, muchísimo tiempo. No nos exija en un período tan breve que demostremos aquello que el cálculo tradicional, en más de cien años de historia escolar, aún no ha demostrado.       

EL MÉTODO ABN TRABAJA CON NÚMEROS ELEVADOS. En su segundo tema no está usted en lo cierto. Hace una suposición que no se corresponde con la realidad. Tenemos muchísimas pruebas documentales (vídeos, fotos, testimonios, en fin todo lo que se puede tener) que muestran claramente que los alumnos resuelven operaciones de las cuatro reglas que cuentan con algo más que pocos números. Busque en los vídeos del blog y se sorprenderá. Lleva razón en que los alumnos del cálculo tradicional no poseen esa destreza cognitiva. Pregúntese por qué. Si el resto de los factores que inciden en el proceso son idénticos, ¿por qué los nuestros sí y los otros no? A lo mejor tiene que ver el método que se emplea.   

EL MÉTODO ABN NO TIENE EFECTOS PERNICIOSOS EN LA FUTURA FORMACIÓN MATEMÁTICA DE LOS ALUMNOS. Nuestro alumnos saben realizar operaciones con números elevados de cifras mejor que los del cálculo tradicional y, créame, no es de lo que más nos enorgullecemos ni lo que más recomendamos. Lo consideramos algo bastante inútil. Supone repetir y repetir algo que ya se sabe hacer. Por otro lado no es cierto que tengan que hacer operaciones del tipo que usted indica en el Bachillerato o en la Universidad. Ni en un lugar ni en otro se hacen cuentas largas. ¡Sólo faltaba! Los cálculos van preparados, se usan reglas de cálculo y calculadoras. Lo que necesitan es entender los procesos, y ello se puede hacer en una “muestra significativa”, en una operación que recoja todas las complejidades que plantee el algoritmo. Para ello no hacen falta dividendos de ocho cifras ni períodos decimales exagerados. Las cuentas de dividir entre tres cifras sólo las hacen tres tipos de personas en el mundo. Los alumnos de 5º, los maestros de los alumnos de 5º cuando se las enseñan, y los padres de los alumnos de 5º cuando les ayudan precisamente en esa tarea. Fuera de eso jamás las volverán a hacer y jamás las volverán a utilizar. Los adultos, matemáticos o no, hace muchísimos años que ya no hacen cuentas de papel y lápiz. ¿De verdad cree usted que en el año 2050, cuando los alumnos que ahora se inician en Primaria pasen de los cuarenta, van a calcular haciendo las cuentas que ya no hacían sus padres? 

EL MÉTODO ABN NO SE QUEDA SOLO EN LAS CUATRO OPERACIONES. Le doy la razón aquí. Los niños ABN hacen las cuatro operaciones muy bien, pero además las entienden y hacen muchas más cosas. Los otros no. Ni siquiera controlan o resuelven en un porcentaje medianamente aceptables, las otras cuentas. No le cuento lo que ocurre con la resolución de problemas. Escuche a sus maestros o a los profesores de matemáticas del instituto que reciben a esos niños, y verá.  

EVIDENCIAS. PUBLICACIONES. Esto en parte ya se lo he contestado. Ahora le hago la pregunta yo a usted: presénteme publicaciones con datos absolutamente incontestables sobre este particular. A saber: el impacto del aprendizaje de la matemática tradicional en la capacitación del sujeto para el manejo de bases de numeración no decimales, las operaciones que comprende, y la trigonometría. Lo que nos solemos encontrar es lo siguiente: una materia odiada, unos estudios superiores que a veces se eligen no por lo que gusten sino porque no contengan matemáticas, un elevado nivel de fracaso (incluso en los que han optado por el camino matemático) y un alto grado de analfabetismo matemático funcional en la mayoría de la población.  

      Le indico publicaciones:

      PAULOS, J. A. (1990). El hombre anumérico. El analfabetismo matemático y sus consecuencias. Bercelona: Tusquets. El subtítulo es muy claro y no requiere de ulteriores explicaciones.

Ablewhite (1971). Las matemáticas y los menos dotados. Madrid: Morata.

Explica con lucidez las trabas artificiales e insuperables que el cálculo tradicional le opone a niños con dificultades. 

El artículo que sigue debería ser de lectura obligatoria en los centros de formación de profesorado:

Kamii, C., & Dominick, A. (1998). The harmful effects of algorithms in grades 1-4. In L. J. Morrow & Margaret J. Kenney (Eds.), The teaching and learning of algorithms in school mathematics (1998 NCTM Yearbook). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics

Modestamente aporté algo de luz al problema de los algoritmos posicionales y lo que de verdad sabe el niño. Este artículo obtuvo un premio internacional de investigación.

Martínez Montero, J. (2001). Los efectos no deseado (y devastadores) de los métodos tradicionales de aprendizaje de la numeración y de los algoritmos de las cuatro operaciones básicas. Epsilon, 49. Pp. 13-26.

            Finalmente y para no aburrir, le recuerdo que en Holanda no hacen algoritmos con formatos posicionales. El “Proyecto Wiskobas”, creo que en 1973, estableció un modo nuevo de abordar el cálculo. El autor del mismo fue el gran matemático Freudenthal. Puede consultarlo en De Jong, R. (1986). Wiskobas in Methoden. Utrecht: OW & OC. Universidad de Utrecht, o, de manos del mismo autor: Freudenthal, H (1979). Structuur der wiskunde en wiskundige structuren; een onderwijskundige analyse (Estructura de las matemáticas y estructuras matemáticas; un análisis educativo). Pedägogische Studiën, 56 (2). Pp. 51-60. 

   

LA IMPORTANCIA DEL SISTEMA POSICIONAL. Claro que estoy de acuerdo con usted en que los sistemas posicionales supusieron un gran avance. Pero no sé en qué tal afirmación contraviene nuestro método. Nuestros niños saben descomponer un número de cuatro cifras en sus órdenes de unidades, (UM, C, D y U), pero además de eso lo saben hacer estableciendo equivalencias entre ellas. ¿Eso está mal? ¿Estaría mejor que no lo supieran hacer? Le pongo un ejemplo. El número 604 lo saben descomponer en 6C y 4 U. Pero también en 5C, 5D y 54 U, o en 60D y 4U, o en 0,5UM, 0,5C y 54 U. ¿Es mejor que no sepan hacer lo segundo y que se limiten a la descomposición rutinaria? ¿Cómo se denota un mayor conocimiento del sistema, con el primer tipo de descomposiciones o con el segundo? En una suma claro que nuestros alumnos saben sumar siguiendo el orden creciente de órdenes de unidades, y de una vez cada una de ellas. Pero además lo saben hacer de derecha a izquierda y de izquierda a derecha, integrando en un cálculo parte o todas las distintas unidades, o, si el alumno tiene menos capacidad, puede desdoblar un orden para poder calcular. ¿Es esto un problema? ¿Es peor? ¿Indica un peor dominio del algoritmo? Además, lo hacen deprisa y, a partir de 3º-4º, mentalmente. ¿Tienen que volver atrás pensando en la trigonometría? Nuestros alumnos abordan la numeración en cualquier base, y en las pruebas que hemos hecho han sido capaces de realizar cualquier operación y en cualquier base de numeración. ¿Eso les va a perjudicar? ¿Afrontarían mejor  el aprendizaje de los sistemas binarios, octal y hexadecimal, si salieran de Primaria sin la menor idea de que las cantidades se pueden estructurar no sólo según la pauta de las potencias de diez, sino también siguiendo las potencias de cualquier número?

EL CÁLCULO TRADICIONAL POSICIONAL NO TIENE POR QUÉ OBTENER PEORES NIVELES DE CÁLCULO MENTAL. No estoy de acuerdo con usted. Con el cálculo tradicional y operando de derecha a izquierda y siguiendo estrictamente, de menor a mayor, el orden de magnitud de las unidades, no hay cálculo mental. Millones y millones de niños y de adultos lo prueban. Este tema lo he trabajado a fondo y no hay manera de que los niños sean capaces de abordar un cálculo bastante sencillo. Repase los ejercicios de cálculo mental que hay en los libros de texto: son elementalísimos, y recurren a técnicas que no tienen que ver con el cálculo posicional. Y le digo lo de antes: qué casualidad que los maestros que enseñan el cálculo tradicional (que en España son centenas de mil) lo hagan mal y no haya habido ninguno que dé con la tecla que usted señala, y los pocos (no sé si llegaremos a mil) que trabajan ABN sí lo consiguen todos. Y otra precisión. Nuestro cálculo es todo mental, lo que ocurre es que cuando alcanza cierta complejidad se tienen que depositar las cantidades intermedias en el papel o el ordenador para aliviar la memoria de trabajo. Pero no son procesos distintos los cálculos de papel y lápiz y los que se realizan sin tener que escribir. 

LA CUENTA DE LA VIEJA Y OTROS CÁLCULOS. Me da la razón. En los ejemplos que me pone los sujetos calculan bien (dentro de unos límites) porque no emplean el algoritmo tradicional posicional. Con él no serían capaces de hacerlo. Tendrían que escribir para ello. Y tanto el sistema ruso como el que empleaban los escribas egipcios requerían de escritura. ¿”Caben” en la cabeza las sucesivas duplicaciones, la retención de las mismas, la discriminación de las pares y de las impares para el descarte, la retención de las no eliminadas y al suma mental de lo que queda? Sinceramente no. Póngase usted un ejemplo, y verá cómo tiene que ayudarse de papel y lápiz.

CONOCER AMBOS MÉTODOS. No es esa la alternativa escolar. Se ha de utilizar el método que otorgue mayor competencia. Por supuesto que luego se le puede enseñar el posicional (y más modelos). Pero lo que no debe hacerse es trabajar simultáneamente en los momentos clave del aprendizaje con dos métodos que se contraponen.   

Muchas gracias por su interés y por el tiempo que nos ha dedicado.

Jaime Martínez